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极坐标教案

1、定义:在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④,在极坐标系下,一对有序实数、对应惟一点P(,),,这些坐标又有规律可循的,P(,)(极点除外)的全部坐标为(,+)或(,+),(Z).极点的极径为0,、,平面上点的极坐标就惟一了,如限定>0,0≤<或<0,<≤等.
极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,.
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
5、极坐标与直角坐标互化公式:

x
O
P(ρ,θ)
M(ρ0,θ0)
l
α
θ
θ0
ρ
ρ0
若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,求直线l的极坐标方程。
设直线l上任意一点的坐标为P(ρ,θ),由正弦定理,得:
=
整理得直线l的极坐标方程为
ρsin(θ−α) =ρ0 sin(θ0 −α)。
一些特殊位置的直线方程如下:
经过极点
经过定点M(a,0),且与极轴垂直
经过定点M(b,),且与极轴平行
θ= α
ρcosθ= a
ρsinθ= b
x
O(M)
l
α
x
O
l
M
a
x
O
l
M(b,)
a

M
P
ρ
ρ0
θ0
θ
O
x
若圆的圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,求圆的极坐标方程。
设P(ρ,θ)为圆上任意一点,由余弦定理,得
PM2 = OM2 +OP2 −2OM·OPcos∠POM,
则圆的极坐标方程是
ρ2 −2ρ0ρcos(θ−θ0) + −r2 = 0
一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r):
圆心在极点
圆心在极点右侧
圆心在极点上方
圆心在极点左侧
圆心在极点下方
ρ= r
ρ= 2rcos θ
ρ= 2rsin θ
ρ= −2rcos θ
ρ= −2rsin θ
x
O
x
O
x
O
O
x
x
O
(一)曲线的参数方程的定义:
在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即
并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.
(二)常见曲线的参数方程如下:
(x0,y0),倾角为α的直线:
(t为参数)
其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,对应于t点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离.
根据t的几何意义,有以下结论.
.设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则==.
.线段AB的中点所对应的参数值等于.
(x0,y0),半径等于r的圆:
(为参数)
,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:
(为参数) (或)
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程
,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:
(为参数) (或)
,焦点在x轴正半轴上的抛物线:
(t为参数,p>0)
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是(t为参数).
【乘积用的】
极坐标的点与直角坐标系的点的互化:
,下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A
A. B. C. D.
( ) B
A. B. C. D.
,则它的极坐标是( )C
A. B. C. D.
。
,B,则|AB|=_________,__________。(其中O是极点)[5,6;]
。
(5,),B(-8,),C(3,),则ΔABC形状为. 锐角三角形
,则它的极坐标是
极