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兰州大学2010年招收攻读硕士学位研究生考试试题.doc

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兰州大学2010年招收攻读硕士学位研究生考试试题
注意:答案请一律写在答题纸上,写在试题上无效。
招生专业:数学与统计学院各专业考试科目:高等代数
证明。
(1)设ƒ(),g()都是多项式,F()=,G()=.证明:唯一地存在u,v,使得
u ƒ() +vg()=
其中<,<
已知ƒ()=(-)(-)……(-)-1,其中,,……,为两两不同的整数。证明:ƒ()在有理数域上不可约。
证: 反证. 如果在有理数域上可约,则可分解成两个次数较低的整系数多项式之积,即

其中是整系数多项式,且由题设可得

此时有,即总有

,这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次数的性质相矛盾,所以在有理数上不可约.
计算以下各题。
(1) (2)
解:(1)记行列式为,则
在把第一行拆成两项之和,并利用范德蒙行列式的结果,得
=2==右端.
记行列式为,则当时,是行和相等的行列式,从而
(2)当时,将的第列元素写出两书的和,并将拆成两个行列式之和
设矩阵A=,证明:如果>,则.
已知A,B是可交换的实矩阵,证明:
已知A,B是可交换的n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T,使得都为正定矩阵.
已知A为n阶实对称矩阵,证明:A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于零。
设V是线性空间,是V是的线性变换,,,
证明:是的不变子空间.
.
已知矩阵A的一个特征向量为,A=.
求的值.
求存在正交矩阵T使成对角矩阵,并写出这个对角矩阵.
兰州大学2010年招收攻读硕士学位研究生考试试题

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