函数奇偶性3.ppt

函数奇偶性综合应用
新知视界
1、如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象
是以原点为对称中心的中心对称图形;
反之,如果一个函数的图象是以原点原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
2、如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象
是以 y轴为对称轴的轴对称图形;
反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
原点
例1、如图,给出偶函数y=f(x) 的局部图象,试作出它的y轴右侧的图象,并比较f(1)与f(3)的小.
应用一、由对称特点补全函数图像
●
●
利用这种对称的特点,分别作出
左侧图像特征点的对称点,再光
滑连线,就做出了右侧的图像。
易知f(1)>f(3).
1、根据例1作出的函数图像,你能指出函
数的单调区间吗?
2、根据图像,你能看出偶函数在对称区
间上单调性有什么特点?奇函数呢?
若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.
奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最
大值M,则f(x)在[-b,-a]上是增函数,
且有最小值-M.
解析:∵偶函数图象关于y轴对称,∴f(x)与x轴
的两个交点关于y轴对称,若一根为x1,则另一
根必为-x1,故f(x)=0的所有实根之和为0.
答案:C
1、若函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有两个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
D.-1
2、设f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上为减
函数,若,且,则与的大小
关系为__________.
解析:∵x1+x2>0,x1<0, ∴x2>-x1>0.
∵f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x2)>f(-x1), 又∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-x1)=f(x1). 故f(x2)>f(x1). 答案:f(x2)>f(x1)
3、偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数f(x)的增区间为________.
[思路点拨] 设x>0,则-x<0,利用奇函数的性质f(x)=-f(-x)得出x>0的解析式,然后用分段函数的形式写出f(x).
例2、已知f(x)是R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2-x(1+x),求f(x).
应用二、利用奇偶性求函数解析式
x
>0
,则-
x
<0.
解:
f
x
2
x
x
2
-
x
∴
(
-
)
=
+
(1
-
)
=
2
x
+
.
又
f
(
x
)
是奇函数,
∴
f
(
-
x
)
=-
f
(
x
)
.
∴
-
f
(
x
)
=-
x
2
+
x
+
2.
∴
f
(
x
)
=
x
2
-
x
-
2.
∵
f
(
x
)
为
R
上的奇函数,
∴
f
(0)
=
0.
∴
f
(
x
)
=
î
ï
í
ï
ì
x
2
-
x
-
2
,
x
>0
,
0
,
x
=
0
,
2
-
x
2
-
x
,
x
<0.
设
(x)是定义在R上的奇函数,
当x≤0时,f(x) =2x2-x,
则f(1)=__________.
, 且满足,
当时,
则=( )
A.-2
C.-98
A
方法点拨用奇偶性求函数的解析式,一般分三个步骤:
①“求谁设谁”,求哪个区间上的解析式,就设x在哪个区间.
②把所求区间内的变量转化到已知区间内并计算.
③利用函数奇偶性的定义f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)求解所求区间内的解析式.
若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数,且f(0)=0”,其他条件不变,则函数f(x)的解析式是什么?
动手做一做
例3、设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
[思路点拨] 首先由奇偶性把不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式,再利用单调性转化为x1,.
应用三、函数单调性与奇偶性的综合问题