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让四边形回到三角形的怀抱
褚瑞雪
四边形与三角形有着密切的联系,它可以看做是由两个具有一条公共边的三角形拼合而成,所以在研究与四边形相关的问题时,如能灵活地把它转化为三角形问题来解,往往能收到良好的效果。今举几例。
一、直接利用三角形
[例1]求证:四边形两条对角线的和大于一组对边的和。
分析:已知:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,
求证:AC+BD>AB+CD
图1
证明:在△AOB和△COD中
∵AO+BO>AB,CO+DO>CD
∴AO+BO+CO+DO>AB+CD
∴AC+BD>AB+CD
二、添对角线构造三角形
由四边形与三角形的联系,经常作四边形的对角线也就成了与四边形相关问题中的常用辅助线,通过这个辅助线也就让四边形回到三角形的怀抱了。
[例2]如图2,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=,CD=5,DA=3,求四边形ABCD的面积。
图2
解析:本题中四边形不是已知面积公式的四边形,注意到∠B是直角添对角线AC,可将它分成两个三角形来求面积。连结AC,在Rt△ABC中,
∠B=90°,AB=2,,由勾股定理,得AC=4
又因为CD=5,DA=3
由勾股定理的逆定理可判定△ACD也是直角三角形,∠DAC=90°
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC
注:添对角线是将四边形转化为三角形的最直接也是最常用的方法。
三、添高线构造三角形
[例3]如图3,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°。
图3
证明:如图,过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC于F。因为BD平分∠ABC
所以DE=DF
Rt△EAD≌Rt△FCD
所以,∠C=∠EAD
因为∠EAD+∠BAD=180°
所以∠C+∠BAD=180°
四、通过补形构造三角形
[例4]如图4,梯形ABCD中,AB//CD,EF是梯形的中位线,如果AC⊥BC,垂足为C,∠1=∠2,那么梯形EFCD的面积与梯形ABFE的面积之比等于__________。
图4