二阶与三阶行列式.ppt

第四章矩阵的进一步讨论
线性代数
§ 线性方程组的解
一、线性方程组的表达式
一般形式
增广矩阵的形式
二、线性方程组的解的判定
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解,
就称它是不相容的.
问题1:方程组是否有解?
问题2:若方程组有解,则解是否唯一?
问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体?
m、n 不一定相等!
定理:n 元线性方程组 Ax = b
无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b);
有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ;
有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n .
分析:只需证明条件的充分性,即
R(A) < R(A, b) 无解;
R(A) = R(A, b) = n 唯一解;
R(A) = R(A, b) < n 无穷多解.
那么
无解 R(A) < R(A, b) ;
唯一解 R(A) = R(A, b) = n ;
无穷多解 R(A) = R(A, b) < n .
证明:设 R(A) = r ,为叙述方便,不妨设 B = (A, b) 的行最
简形矩阵为
第一步:往证 R(A) < R(A, b) 无解.
若 R(A) < R(A, b) ,即 R(A, b) = R(A)+1,则 dr+1 = 1 .
于是第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1,故原线性方程组无解.
R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)+1
前 r 列
后 n - r 列
前 n 列
前 r 列
第二步:往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解.
若 R(A) = R(A, b) = n,
故原线性方程组有唯一解.
后 n - r 列
则 dr+1 = 0 且 r = n,
对应的线性方程组为
从而 bij 都不出现.
前 r 列
n 列
第二步:往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解.
若 R(A) = R(A, b) = n,
故原线性方程组有唯一解.
则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现.
即 r = n,
前 r 行
后 m-r 行
后 n - r 列
n 行
对应的线性方程组为
后 m-n 行
第三步:往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解.
若 R(A) = R(A, b) < n ,
对应的线性方程组为
前 r 列
则 dr+1 = 0 .
后 n - r 列
即 r < n ,
令 xr+1, …, xn 作自由变量,则
再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ,则
线性方程组的通解