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《通信原理》第九讲

§ 正弦波加窄带高斯噪声
信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰,为了减少噪声的影响,通常在接
收机前端设置一个带通滤波器,以滤除信号频带以外的噪声。因此,带通滤波器
的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成
波,所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。
设合成信号为
rt()=++ A cos(ωc tθ) nt () (-1)
2
式中= c cos)()( ω− sc sin)( ω cttnttntn 为窄带高斯噪声,其均值为零,方差为σ n ;
正弦信号的 A,ωc 均为常数,θ是在π)2,0( 上均匀分布的随机变量。于是
rt()=+ [ A cosθ ncc ()]cos tωθ t −+ [ A sin n sc ()]sin t ω t
=−Sc()cosωω t zt ()sin t (-2)
=+zt()cos[ωϕc t ()] t
式中
zc()tA=+ cosθ ntc () (-3)
zs()tA=+ sinθ nts () (-4)
合成信号tr )( 的包络和相位
22
zt()=+ ztcs () zt () , z≥ 0 (-5)
zt()
ϕ()ttg=≤−1 s , (0ϕπ≤ 2 ) (-6)
ztc ()
2-1
利用上一节的结果,如果θ值已给定,则zc 、zs 是相互独立的高斯随机变量,且
有
c = AzE cos][ θ
s = AzE sin][ θ
222
== σσσ nsc
所以,在给定相位θ的条件下的zc 和zs 的联合概率密度函数为
1 ⎧ 1
2 2
zzf sc θ)/,( = 2 exp⎨− 2 c − Az θ s −+ Az θ])sin()cos[( }
2πσ n ⎩ 2σ n
利用上一节相似的方法,可以求得在给定相位θ的条件下的 z 和ϕ的联合概率密
度函数为
∂,ξξ sc )(
ϕθ= zzfzf sc θ)/,()/,( = ⋅ zzfz sc θ)/,(
∂ a ϕξξ),(
z ⎧ 1
22
= 2 exp⎨− 2 −+ AzAz −ϕθ)]cos(2[ }
2πσ n ⎩ 2σ n
求条件边际分布,有
2π
θ= )/,()/( dzfzf ϕθϕ
∫0
z 2π 1
= exp{ 22 −+− AzAz −)]}cos(2[ dϕϕθ
2 ∫0 2
2πσ n 2σ n
22
⎛+ Azz ⎞ 2π⎡ Az ⎤
= exp⎜−⎟ exp −)cos( dϕϕθ
2 ⎜ 2 ⎟∫0 ⎢ 2 ⎥
2πσ n ⎝ 2σ n ⎠⎣σ n ⎦
由于
1 2π
exp[]x cosθθdIx= ( )
2π∫0 0
(-7)
故有
1 2π⎡ Az ⎤⎛ Az ⎞
exp −)cos( ϕϕθ= Id 0 ⎜⎟
∫0 ⎢ 2 ⎥⎜ 2 ⎟
2π⎣σ n ⎦⎝σ n ⎠
2-2
式中, 0 xI )( 为零阶修正