线性代数§51.ppt

§ 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念及求法
定义: 设A是复数域上的 n 阶方阵, 如果数和 n 维非零列向量 x 使关系式
A x =  x
成立, 那末数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为 A 的属于(对应于)特征值的特征向量.
说明2: 特征向量 x 一定是非零向量.
说明1:特征值问题是对方阵而言的;
※当 x = 0 时,对任意
都有
成立,
对讨论特征值无意义.
说明3: n阶方阵A的特征值, 就是满足方程| A–E | = 0
的,与之对应的特征向量就是齐次线性方程
组(A–E)x = 0 的非零解。
由于特征方程| A–E | = 0, 故齐次方程组(A–E)x = 0 有非零解. 因此, 求出特征值对应的基础解系即可求出所有特征向量.
说明4: 方程| A–E | = 0 
称以为未知数的一元n次方程| A–E | = 0为方阵A的特征方程.
记f() = | A–E |, 它是的n次多项式, 称其为方阵A的特征多项式.
n次代数方程有n个根(复根和实根, 重根按重数计算), 即n阶方阵有n个特征值(在复数范围内).
特征多项式也可以是| E-A |, 特征方程也可
以是| E-A | = 0.
说明5:方阵的特征向量总是相对于方阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一, 但一个特征向量不能属于不同的特征值.
因为, 如果设向量x同时是A的属于不同特征值的1, 2 (12)的特征向量, 即有
Ax = 1x, Ax = 2x,
则有, 1x = 2x.
即( 1 –2 ) x = 0.
由于( 1 –2 )  0,
则 x = 0,
这与x是特征向量矛盾.
例1: 求
的特征值和特征向量.
解: A的特征多项式为:
= (3–)2 –1
所以, 该方阵A的特征值为: 1 = 2, 2 = 4.
= 8 – 6+ 2 = (4 –)(2 –)
当1 = 2 时, 对应的特征向量应满足:
即
解得 x1=x2, 故特征值1=2对应的特征向量为: x=c
(c0).
当1 = 4 时, 对应的特征向量应满足:
即
解得x1=-x2, 故特征值2=4对应的特征向量为: x=c
(c0).
例2: 求矩阵A =
的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
| A–E | =
= (2–)(1–)2,
所以A的特征值为: 1=2, 2=3=1.
当2=2时, 解方程组( A–2E )x = 0.
由
得基础解系
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).