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整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
0-1规划的求解 Solving Binary Integer Programming
Chapter 3 整数规划
Integer Programming
运筹学
Operations Research
5/5/2018
整数规划数学模型

Mathematical Model of IP
5/5/2018
一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数,则这个规划称为整数规划。当要求全部变量取整数值的,称为纯整数规划;只要求一部分变量取整数值的,称为混合整数规划。如果模型是线性的,称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。
很多实际规划问题都属于整数规划问题
1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数
2. 对某一个项目要不要投资的决策问题,可选用一个逻辑变量 x,当x=1表示投资,x=0表示不投资;
3. 人员的合理安排问题,当变量xij=1表示安排第i人去做j工作,xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
5/5/2018
【 】某人有一背包可以装10公斤重、。他准备用来装甲、乙两种物品,每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。问两种物品各装多少件,所装物品的总价值最大?
表3-1
【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件,则数学模型为:
()
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
物品
重量
(公斤/每件)
体积
(m3/每件)
价值
(元/每件)
甲
乙




4
3
5/5/2018
如果不考虑x1、x2取整数的约束(称为()的松弛问题),线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
图3-1
5/5/2018
用图解法求得点B为最优解:X=(,),Z=。由于x1,x2必须取整数值,实际上整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合,但(4,7)、(4,8)(3,8)都不是可行解,(3,7)虽属可行解,但代入目标函数得Z=33,并非最优。实际上问题的最优解是(5,5),Z=35。即两种物品各装5件,总价值35元。
由图3-1知,点(5,5)不是可行域的顶点,直接用图解法或单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解,因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。
还有些问题用线性规划数学模型无法描述,但可以通过设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
5/5/2018
【 】,假设此人还有一只旅行箱,最大载重量为12公斤,。背包和旅行箱只能选择其一,建立下列几种情形的数学模型,使所装物品价值最大。
(1)所装物品不变;
(2)如果选择旅行箱,则只能装载丙和丁两种物品,价值分别是4和3,载重量和体积的约束为
【解】此问题可以建立两个整数规划模型,但用一个模型描述更简单。引入0-1变量(或称逻辑变量)yi,令
i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
5/5/2018
(1) 由于所装物品不变,式()约束左边不变,整数规划数学模型为
(2)       由于不同载体所装物品不一样,数学模型为
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
5/5/2018
式中M为充分大的正数。从上式可知,当使用背包时(y1=1,y2=0),式(b)和(d)是多余的;当使用旅行箱时(y1=0,y2=1),式(a)和(c)是多余的。上式也可以令:
同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m(≤m、≥m)个条件起作用的情形。
整数规划的数学模型
Mathematical Model of IP
5/5/2018
(1)右端常数是k个值中的一个时,类似式()的约束条件为
(2)对于m组条件中有k(≤m)组起作用时,类似式()的约束条件写成
这里yi=1表示第i组约束不起作用(如y1=1式()、()不起作用),yi=0表