2025年全国甲卷高考文科数学试卷(真题+答案).pdf

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子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。” ——《论语》
2025 年高考全国甲卷数学（文）
一、单选题
1．集合A 1, 2,3,4,5,9 B x x 1A
， ，则 A B （ ）
1,2,3,4 1, 2,3 3, 4 1,2,9
A ． B ． C ． D ．
2．设 z  2i ，则 zz （ ）
A ． -i B ．1 C ．-1 D ．2
4x 3y 3 0
x,y 
3．若实数 满足约束条件x 2y 2 0 ，则 z x 5y 的最小值为（ ）
2x 6y 9 0
   
1 7
A ．5 B ． C ． 2 D ． 
2 2
a  n S S 1 a a 
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ， （ ）
n n 9 3 7
7 2
A ． 2 B ． C ．1 D ．
3 9
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）
1 1 1 2
A ． B ． C ． D ．
4 3 2 3
y2 x2  
6．已知双曲线 C : 1( a 0,b 0) F 0,4,F 0, 4，点 P 6,4在该双曲线上，则该双
    的上、下焦点分别为
a2 b2 1 2
曲线的离心率为（ ）
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 2
7．曲线 fxx6 3x 1  
在 0,1 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
1 3 1 3
A ． B ． C ． D ． 
6 2 2 2
  
8．函数 f x x2 ex ex sinx 在区间[,]的大致图像为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
cos   π
9．已知  3 ，则 tan  （ ）
 4 
cos sin   : .
子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。” ——《论语》
3
A ． 2 3 1 B ． 2 3 1 C ． D ．1 3
2
10．设、是两个平面，m 、n 是两条直线，且m .下列四个命题：
m //n n // n // m n n ,n 
①若 ，则 或 ②若 ，则
n // n // m //n n  
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则m n
其中所有真命题的编号是（ ）
A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．①③④
π 9
11 ．在 ABC 中内角A,B ,C 所对边分别为a,b,c ，若 B  ， b2  ac ，则 sinA sinC （ ）
3 4
3 7 3
A ． B ． 2 C ． D ．
2 2 2
二、填空题
 0, π
12．函数 f x sinx 3 cosx在 上的最大值是 ．
1 1 5
13．已知a 1 ，   ，则 a  ．
loga log 4 2
8 a
14．曲线y x3 3x 与 y x 12 a 在 0, a
上有两个不同的交点，则 的取值范围为 ．
三、解答题
a  n S 2S 3a 3
15．已知等比数列 的前 项和为 ，且   .
n n n n1
a 
(1)求 的通项公式；
n
S 
(2)求数列 的通项公式.
n
16．如图，在以 A，B，C ，D ，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，BC //AD ,EF //AD ，
AD 4, AB BC EF 2 ， ED  10,FB 2 3 ， M 为 AD 的中点.
(1)证明：BM //平面 CDE ；
(2)求点 M 到 ABF的距离.
17．已知函数fxa x 1lnx 1
．
fx
(1)求 的单调区间；
a 2 x 1 f xex 1
(2)若 时，证明：当 时，   恒成立． : .
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白
x2 y2  3 
18．设椭圆C :  1( a b 0)的右焦点为F ，点 M 1, 在 C 上，且MF x 轴．
 2 
a2 b2  
(1)求C 的方程；
P 4,0 C A,B Q AQ y
(2)过点 的直线与 交于 两点，N 为线段FP的中点，直线NB 交直线MF 于点 ，证明： 轴．
19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
cos 1.
(1)写出 C 的直角坐标方程；
x t
(2)设直线l： （t为参数），若 C 与 l相交于A、B 两点，若 AB 2 ，求 a 的值.

y ta

20．实数a,b 满足 a b 3 ．
(1)证明：2a2 2b2 a b ；
(2)证明： a 2b2 b 2a2 6 ． : .
去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》
2024年高考全国甲卷数学（文）参考答案
一、单选题
1．集合A 1, 2,3,4,5,9 B x x 1A
， ，则 A B （ ）
1,2,3,4 1, 2,3 3, 4 1,2,9
A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解析】根据题意得，对于集合中的元素x ，满足x 1 1, 2,3,4,5,9，
B
则 x 可能的取值为0,1, 2,3,4,8，即 B {0,1, 2,3,4,8}，于是A B {1, 2,3,4} .
故选 A
2．设 z  2i ，则 zz （ ）
A ． -i B ．1 C ．-1 D ．2
【答案】D
【解析】根据题意得，z  2i ，故 zz2i2 2 .
故选 D
4x 3y 3 0
x,y 
3．若实数 满足约束条件 x 2y 2 0 ，则 z x 5y 的最小值为（ ）

2x 6y 9 0
   
1 7
A ．5 B ． C ． 2 D ． 
2 2
【答案】D
4x 3y 3 0
x,y 
【解析】实数 满足 x 2y 2 0 ，作出可行域如图：

2x 6y 9 0
   
1 1 1 1 1
由 z x 5y 可