2025年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案数学三.pdf

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穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》
2025 年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案
（数学三）
（科目代码：303）
一、选择题：1~10小题，每小题5 分，共50分，下列每题
给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请
将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1、已知函数 ,则( )
A、 不存在， 存在
B、 存在， 不存在
C、 ， 均存在
D、 ， 均不存在
2、函数 的原函数为( )
A、F(x)=
B、F(x)=
C、F(x)=
D、F(x)=
3、若微分方程y +ay+by=0的解在（-，+）上有界，则（ ）
A、a<0 ，b>0
B、a>0 ,b>0
1 : .
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》
C、a=0 ,b>0
D、a=0 ，b<0
4、已知 (n=1,2,……)，若级数 与 均收敛，则
“ 绝对收敛”是“ 绝对收敛”的（ ）
A、充分必要条件
B、充分不必要条件
C、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件
5、设A,B为 n 阶可逆矩阵，E为 n 阶单位矩阵，为矩阵M 的伴随
矩阵，则 =( )
A、
B、
C、
D、
6、二次型 的规
范形为( )
A、
B、
C、
2 : .
臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥
D、
7、已知向量= , = , = , = ,若既可由 ，
线性表示，也可由线性表示，则=（ ）
A、k,kR
B、k,kR
C、k ,kR
D、k,kR
8、设随机变量X 服从参数为1 的泊松分布，则E（|X-EX| ）=( )
A 、
B 、
C、
D 、1
9、设 , 为来自总体N （ ）的简单随机样本，,
为来自总体N （ ）的简单随机样本，且两样本相互独
立 ， 记 = , = , = , =
, 则（ ）
3 : .
老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃
B、
C、
D、
10、设 , 为来自总体N （ ）的简单随机样本，其中
是未知参数，若= 为 的无偏估计，则a=( )
A 、
B 、
C、
D 、
二、填空题：11 ~16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、 =
12 、 已 知 函 数 满 足 , , 则
=
13、 =
14、设某公司在t 时刻的资产为 ，从0 时刻到t 时刻的平均资产
等于 .假设 连续且 则 =
15 、已知线性方程组 有解，其中a,b为常数，
若 =4,则 =
4 : .
其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》
16、设随机变量X 与 Y 相互独立，且X B(1,p),Y B(2,p),p (0,1),则
X+Y 与 X-Y 的相关系数为
三、解答题：1722小题，共70分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
17 、 已 知 可 导 函 数 y=y(x)满 足 a
且 y(0)=0,y(0)=0
(Ⅰ)求a,b的值.
(Ⅱ)判断x=0 是否为 y(x)的极值点.
18、已知平面区域D={(x,y)|0 y ,x 1}
(Ⅰ)求D 的面积.
(Ⅱ)求D 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.
19、已知平面区域 D={(x,y)| + ≤1},计算二重积分
-1|dxdy.
20、设函数 在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：
(Ⅰ)若 =0，则存在 ,使得 = [ ;
(Ⅱ)若 在 内取得极值，则存在 η 使得
| | | |.
21、设矩阵 A 满足对任意 , ， 均有 A =
(Ⅰ)求A.
(Ⅱ)求可逆转矩阵P 与对角矩阵 使得
22、设随机变量X 的概率密度为 , ,令
Y=.
(Ⅰ)求X 的分布函数
(Ⅱ)求Y 的概率密度
(Ⅲ)Y的期望是否存在？
5 : .
丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫
参考答案：
一、
6 : .
饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。——《论语》
1、A
2、D
3、C
4、A
5、B
6、B
7、D
8、C
9、D
10、A
二、
11、
12、
13、
14、2
15、8
16、-
三、
17、(Ⅰ)在题设方程两边同时对x 求导得，
a ①
将 x=0,y=0代入题设方程得，a+b=0;
将 x=0,y=0, 代入①式得，a-1=0
7 : .
海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐
综上：a=1,b=-1.
(Ⅱ)在等式①两边再对x 求导得，
将 x=0,y=0, 代入②式得， =-a-1=-2.
由于 y (0)=0， =-2，故 x=0 是 y(x) 的极大值点.
18、(Ⅰ)面积
S= = = = =
.
(Ⅱ)旋转体体积为：
= =
= = .
19、本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域
分为三块，分别采用极坐标进行计算：
=
=
分别采用极坐标进行计算：
= = =
= =
=
= =
8 : .
百学须先立志。——朱熹
=
所以：
=
=-
20、(Ⅰ)证明： x+ = x+ , 介
于 0 与 x 之间，
则 a+ ,0< <a.①
a)+ , -a< <0.②
① +② 得： [ ] .③
又 在[ ]上连续，则必有最大值 M 与最小值 m,即，
m ，m ，从而 m .