导数及其运算.doc

第1讲导数及其运算
一、选择题
=的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )

解析:∵y′=,又k=,∴=,∴x=1.
答案:A
=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=( )
B. C.- D.-1
解析:∵y′=2ax,∴y′|x=1=2a,∴2a=2,∴a=1.
答案:A
3.(2009·湖北宜昌)对于任意x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则函数f(x)的表达式为( )
(x)=x4-2 (x)=x4+2
(x)=x3 (x)=-x4
解析:对于f(x)=x4-2,显然f′(x)=4x3且f(1)=-1成立,其余的都不成立.
答案:A
4.(2010·广东柳州调研)曲线y=x3+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面
积为( )
A. B. C. D.
解析:∵y′=x2+1,∴y′|x=1=2,切线方程为y-=2(x-1).
由x=0得纵截距为-,由y=0得横截距为.∴所求面积为××=.
答案:A
二、填空题
,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐
标分别为(0,4),(2,0),(6,4),
则f(f(0))=________;函数f(x)在x=1处的导数f′(1)=
________.
解析:由题图可知f(x)=
则f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2;由导数的几何意义知f′(1)=-2.
答案:2 -2
6.(2009·北京东城)已知函数f(x)=x3-px2+qx的图象与x轴切于点(1,0),则p=
________,q=________.
解析:因为f′(x)=3x2-2px+q,故f′(1)=3-2p+q=0,又点(1,0)在函数f(x)=x3
-px2+qx的图象上,故1-p+q=0,联立以上两式解得p=2,q=1.
答案:2 1
7.(2010·河北石家庄调研)若以曲线y=x3+bx2+4x+c(c为常数)上任意一点为切点的
切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为________.
解析:∵y′=x2+2bx+4,由题意知:x2+2bx+4≥0,x∈R,∴Δ=4b2-16≤0,∴
-2≤b≤2.
答案:[-2,2]
三、解答题
(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)且在点M(-1,f(-1))处的切线方
程为6x-y+7=0,由以上条件能否惟一确定f(x)的解析式,如果能,请求出f(x).如
果不能,请说明理由.
解:由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2.
∵f′(x)=3x2+2bx+c,由在M(-1,f(-1))的切线方程为6x-y+7=0,
∴-6-f(-1)+7=0,∴f(-1)=1,且f′(-1)=6,
所以即
解得:b=c=-3,故由条件可以求出惟一确定的f(x)=x3-3x2-3x+2.
9.(2009·河南郑州模拟)已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线
C相切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
解:直线过原点,则k=(x0≠0).由点(x0,y0)在曲线C上,则y0=x-