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第三章谓词逻辑与确定性推理
谓词逻辑指基于数理逻辑的表示、推理方法,一阶谓词逻辑是经典的命题逻辑。由于其表示的多为确定性知识,也多用于确定性推理。
一阶谓词逻辑
推理基础
归结原理
自然演义推理
归结演义推理
定义1:一个陈述句称为一个断言。有真假意义的断言称为命题。
命题的意义(真假)结果称为真值,为真时记为 T ,
为假时记为 F。
例如:王立是大学生;上海是全国最大的城市。
再如:当x=6,y=5时,
命题:x 大于 y 结果为 T ,
命题:x 小于 y 结果为 F 。
反例:今天好冷! 几度呀? 都不是命题。
§3-1 谓词逻辑基本概念
1. 命题的真值
§3-1 谓词逻辑基本概念
2. 论域和谓词
定义2:论域是问题涉及对象的全体构成的非空集合。集合中的元素称为个体,因此,论域也称为个体域。
谓词逻辑: 命题是用谓词来表示的,由两个部分构成即:一个谓词= 谓词名(个体)。
其中,个体是命题的主语,表示独立的事务或抽象的概念。谓词名是谓语,表达个体的状态、性质或个体间的关系。
定义 3 :设D是个体域,P :Dn { T ,F }是一个映射,其中
Dn ={(x1,x2,…,xn)| x1,x2,…,xn ∈ D}
则称 P是一个 n 元谓词(n=1,2,…),
记为 P(x1,x2,…,xn)。
其中, x1,x2,…,xn为个体变元。
个体可以是常量、变量或函数。
例如:GREATER(x,6) 表示 x>6
TEACHER(father(A)) 表示的父亲是教师。
其中, father(A) 是函数,小写。一般形式为
f(x1,x2…xn) ,其值在个体域中。
§3-1 谓词逻辑基本概念
§3-1 谓词逻辑基本概念
3. 连接词和量词
(1)连接词:是连接简单命题,构成复合命题的逻辑运算符号。
~ :否定、对命题“非”。
∨:析取,对命题取“或”
∧:和取,对命题取“与”
→:条件,蕴涵,表示“如果…则…”
↔:双条件,表示“当且仅当”。表2-1 谓词逻辑表
P
Q
~P
P∨Q
P∧Q
P→Q
P↔Q
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
(2)量词:用于对谓词中的个体约束或规定。分为全称量词∀和存在量词∃。
∀x:表示论域中所有的 x 。
∃x:表示论域中存在 x 。
命题(∀x )P(x)为真:当且仅当对于论域中的所有x ,都有P(x)为真;只要有一个x0 ∈D,使得 P(x)为假,那么(∀x )P(x)就为假。
命题(∃x )P(x)为真:只要有一个x0 ∈D,使得 P(x)为真;当且仅当对于论域中的所有x ,都有P(x)为假,那么( ∃ x )P(x)就为假。
§3-1 谓词逻辑基本概念
定义3 . 项的规则
1)单独一个个体词是项:t1,t2,t3,…tn 。
2)若 t1,t2,t3,…tn 是项,则函数 f(t1,t2,t3,…tn )也是项。
3)由 1)和 2)生成的表达式也是项。
定义4. 原子谓词公式
若 t1,t2,t3,…tn 是项,P是谓词符号,
则 P(t1,t2,t3,…tn ) 称为原子谓词公式。
§3-1 谓词逻辑基本概念
4. 项与合式公式
定义5. 合式公式(谓词公式)
1) 原子谓词公式称为合式公式;
2)由~∧∨→↔连接的合式公式还是合式公式;
3)由∃∀约束的合式公式也称为合式公式。
定义6. 自由变元与约束变元
∃、∀是有辖区的, 受∃∀约束的变元称为约束变元。不受它们的约束的变元称为自由变元。
(1) (∀ x )P(x) , x为约束变元
(2) (∀ x)(H(x)→ G(x,y)), y为自由变元
(3) (∃ x)A(x) ∧ B(x) ,
只约束 A(x) , 而 B(x)中的 x 仍为自由变元。
§3-1 谓词逻辑基本概念
谓词逻辑可以表示事物的状态、性质、概念,也可以表示事物之间的因果关系,即规则。
对于事实的知识用~∧∨连接的谓词公式表示。
对于事物的因果关系通常用蕴含→式表示。
x → y 表示“如果x , 则y”
使用谓词逻辑进行知识表示时,一般先根据题意定义谓词, 然后在根据表达的需要使用适当的连词和量词把谓词连接起来构成谓词公式。
§3-2 谓词逻辑的问题表示
1. 谓词逻辑表示
所有的学生都有某教材。
STUDENT(x) :表示x是学生
HASMATERIAL(x,y):表示x有教材y
题目所表达的知识可以表示为:
(∀ x) (