高等数学常微分方程的基本知识.ppt

高等数学常微分方程的基本知识.ppt常微分方程
常微分方程基本知识
线性微分方程组理论
高阶线性微分方程
微分方程定性方法初步
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程,如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律,能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
常微分方程
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
例1 镭的衰变规律:
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
解:
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
将某物体放置于空气中, 在时刻
时, 测得它的温度为
10分钟后测量得温度为试决定此物
体的温度和时间的关系.
例2 物理冷却过程的数学模型
Newton 冷却定律:
1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为由Newton冷却定律, 得到
其中为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.
注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,, 以后再介绍.
解:
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).
设L,R,C均为常数,e(t),电路中电流强度I与时间t之间的关系.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
电路的Kirchhoff第二定律:
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
因为于是得到
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
解:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学
模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专

试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的
方法建立模型.
2007年8月
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南京航空航天大学理学院数学系