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一致收敛性判别及应用
摘要:函数是高等数学中重要的内容之一,但是函数项级数与函数列的一致收敛性问题往往是初学者学****函数的最大障碍,本文对函数项级数、函数列的一致收敛性的常用判别方法进行简单分析并阐述其应用。
关键词:函数项级数函数列一致收敛判别法及应用
设为定义在区间Z上的函数序列,假如∀ε>0,那么就存在δ>0,∀x1,x2∈Z,当|x1-x2|<δ,对于一切n有||<ε,则称之为函数序列在区间Z上等度连续。
假设函数列与函数定义在区间Z上,假如对于任意给的正数ε,总是存在一个正数N,使得n>N的时候,对于任意的x∈Z,都存在
||<ε
以上情况则称之为在区间Z上一致收敛于。
一、函数列及其一致收敛性
假设,,∙∙∙,,∙∙∙是一列定义在同一数集Z上的函数,那么则称为定义在Z上的函数列,可以表达为:
或,n=1,2,∙∙∙。(1)
以x0∈Z带入以上数列,可以得出以下数列:
(2)
假如数列(2)收敛,那么则称为数列(1)在点收敛,x0则是函数列(1)的收敛点,当函数列(1)在数集D
⊂Z上每一个收敛点都出现收敛时,则称(1)在数集D上收敛,这时候D上面的每一个点x都有相应的数列的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数,则称为函数列(1)的极限函数假如将此极限函数记作为,那么则有:
,x∈D
或者是:
(n→∞),x∈D
例1 设,n=1,2,∙∙∙,为定义在(-∞,∞)上的函数列,证明其收敛域为。
=0, &|x|<1,1, &x=1.
证明:设1>ε>0,当1>|x|>0时,由于有:
||=||,
只要N(ε,x)=lnεlnx,当n>(ε,x)时,就有
||=|xn|<|x|N=ε.
当x=0,x=1,对于任何正整数n,都存在
||=0<ε,
||=0<ε.
以上结果证明了在上收敛。
例2 定义在上的函数列,n=1,2,∙∙∙。
由于对于任何的实数x,都存在
≤,
因此,对于任意ε>0,只要符合n>N=1ε,就存在
<ε.
所以,函数列的收敛域为。
二、一致收敛判别法
对于函数项级数的一致收敛性判别方法早有人研究过,且硕果累累,常见的判别方法有:柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等等,在这里我们就不一一介绍了,下面介绍比较常用的判别法。
莱布尼兹判别法
定理一:设在区间上的连续函数列,且对于,都存在
(1),其中∈N+,
(2).
则交错函数顶级数在上一致收敛。
证明:
已知函数列在区间上单调减少且收敛于0,每一项也都存在连续。
而,
所以在连续非负,
在区间一致收敛于0。
又存在=1,n=2k+10,n=2k
因此有界,即是的部分与函数列在区间上一致有界。
由狄利克雷判别法我们可以知道:交错函数项级数在区间
一致收敛。
例3 证明在区间上一致收敛。
证明:是任意闭区间的连续函数列,且存在
∀x∈,,,
由定理一:设在区间上的连续函数列,且对于,都存在
(1),其中,
(2).
则交错函数顶级数在上一致收敛。我们可以知道,函数项级数在区间一致收敛。
M一判别法
定理二: 设有函数级数