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复变函数的基本概念
与
发展情况介绍
一、复变函数的概念

设D为给定的平面点集,若对于D中每一个复数z=x+yi ,按照某一确定的法则 f ,总有确定的一个或几个复数w=u+vi与之对应,则称f 是定义在D上的复变函数(复变数w是复变数 z的函数),简称复变函数,记作 w=f(z) 。
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之,则 w=f(z)可写作
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部和虚部可得到: u=u(x , y) , v= v(x , y)。
这样,一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值函数u=u(x , y) , v= v(x , y) 。
从而 w=f(z)的性质就取决于u=u(x , y) , v= v(x , y)的性质。

如果复数 z和 w分别用Z 平面和 W 平面上的点表示,则函数 w=f(z) 的几何意义是:
将Z平面上的定义域 D 变到 W 平面上的函数值域G 的一个变换或映射,它将D 内的一点z 变为 G内的一点。
例1 将定义在全平面上的复变函数 w=z2+1化为一对二元实变函数。
例2 将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。
化为一个复变函数。
二、复变函数的极限
1. 复变函数的极限的定义
的某去心邻域内有定义,若对任
设
在点
意给定的正数ε(无论它多么小)总存在正数δ,
当复数
满足
时,对应的函数值
都有
则称复常数 A 为函数
在当
时的极限。
或
记作
2. 复变函数的极限与实值函数的极限的关系
设
则
且
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
的某邻域内有定义
设
在点
,若
则称
处连续。
在
若
在区域D 内每一个点都连续,则称函数
在区域D内连续。