数学试卷答案【四川卷】【高二下期末考】四川省遂宁市高中2026届高二第四学期期末教学水平监测(7.7-7.9).docx

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数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（每小题 5 分，8 小题，共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
C
D
A
D
B
8．解析：①当个位上的数字是 0 时，有C = 36 个满足条件的“双耳屋三位数 ”；
②当个位上的数字是 2 时，百位是 1 时，十位可为 3～9；百位是 3 时，十位可为 4～9；
百位是 4 时，十位可为 5～9；百位是 5 时，十位可为 6～9；百位是 6 时，十位可为 7～9；百位是 7 时，十位可为 8～9；百位是 8 时，十位只能为 9；故此时满足条件的 个数为1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
③当个位上的数字是 4 时，百位是 1，2，3 时，十位均可为 5～9；百位是 5 时，十位可为 6～9；百位是 6 时，十位可为 7～9；百位是 7 时，十位可为 8～9；百位是 8 时，十位 只能为 9；故此时满足条件的个数为1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 = 25
④当个位上的数字是 6 时，百位是 1，2，3，4，5 时，十位均可为 7～9；百位是 7 时，十 位可为 8～9；百位是 8 时，十位只能为 9；故此时满足条件的个数为
1+ 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
⑤当个位数字是 8 时，百位可以是 1～7，十位只能为 9；故此时满足条件的个数为 7 综上，没有重复数字且是偶数的“双耳屋三位数 ”的个数为
36 + 28 + 25 +18 + 7 = 114
二、多选题（每个 6 分，共 18 分。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. · )
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABD
11. 解 析 ： 对 于 A 选 项 ， 因 为 当 a = b = 0 时 ， f(x) = x3 ， 定 义 域 为 R ， 且 满 足 f(-x)= -f(x) ，此时函数 f (x）为奇函数，故 A 选项正确；
对于 B 选项 ， 因为 f ' (x) = 3x2 - a ，而 当 a > 3 时 ， 由 f ' (x) = 3x2 - a < 0 解得 即f 在 上单调递减 ，而此时 包含 (-1,1) ，故 B 选项正确;
对 于 C 选 项 ， 因为 f ' (x) = 3x2 - a ，又 由 f ' (-1) = 3(-1)2 - a = 0 ,得 出 a = 3 ， b = 2 ，则 f (x) = x3 - 3x + 2 ，所以 f ¢(x) = 3x2 - 3 ，又 x ∈[-1, 2]，由 f ¢(x) > 0 ， 得1 < x < 2 ；由f ¢(x) < 0 ，得-1 < x < 1；所以f(x) 在 (-1,1) 上单调递减，在(1, 2) 上单调递增，又f (-1) = 4 ，f (1) = 0 ，f (2) = 4 ，所以值域为[0，4]，故 C 选项错误； 对于 D 选项，①当b = 1, a > 0 时，有下表
高二数学试题参考答案第 1 页（共 6 页）
x
（- ∞, - · a）
\ 3
（- · a , · a）
\ 3 3
( · a，+ ∞)
\ 3
f ' (x)
+
-
+
f (x)
单调递增
单调递减
单调递增
又 当 x → -∞ 时 ， f(x) → -∞ , 当 x → +∞ 时 ， f(x) → +∞ , 且
极大值 又 函 数 y = f(x) 有 三 个 零 点 ， 所 以 只 需
②当b = 1, a ≤ 0 时， f ¢(x) = 3x2 - a ≥ 0 ，则 f(x) 在 R 上单调递增，不会出现三个零点 的情况，综上①②可知 故 D 选项正确。
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分．）
12. 13. 80 14. (-∞, -1) U (2, +∞ )
：因为f'(x) = ex + e-x - 2 cos 2x ≥ 2 - 2 cos 2x = 2 - 2 cos 2x ≥ 0 ，当且 仅当 x =0 取等号，故有 f(x) 在(-∞, +∞ ) 上单调递增，又 f(x) + f(-x) = 1，所以 f (a +1) + f (1- a2 ) < 1 = f (1- a2 ) + f (a2 -1) ， 得到 f (a +1) < f (a2 -1) ，所 以 a +1 < a2 -1，解得 a < -1 或a > 2
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，其中第 15 题 13 分，第 16 题和第 17 题每题 15 分，
第 18 题和第 19 题每题 17 分）
15. 解析：（1）
性别
跑步
合计
喜欢
不喜欢
男
160
80
240
女
64
96
160
合计
224
176
400
………………………………
………5 分（每空 1 分）
由表格数据可知，女性喜欢跑步的概率为 …………………………………7 分
高二数学试题参考答案第 2 页（共 6 页）
(2)零假设为H0 ：性别与跑步无关联． ……………………………………………8 分
根据列联表中的数据，计算得到
分 所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为性别与跑步有关
联，此推断犯错误的概率不大于 ． ………………………………………13 分
16. 解析：（1）(1- )n 的二项展开式中所有项的二项式系数之和
C + C +…+ C = 2n = C = 1024 ，所以 n = 10 .……………………………………4 分
所以二项式(1- )n ，即是 (1 - )10 ，而 (1 - )10 展开式的通项为
Tr+1 = C0 (-)r ，.……………………………………………………………………6 分 令r = 9 ，得展开式中 x3 的系数为 C . (-1)9 = -10 ，故该展开式中 x3 的系数为
-10 ………………………………………………………………………………………8 分
1 2 n
n
（2）由（1）知 n = 10 ，1 所以 2(1- ) = 0 + a1x3 + a2x 3 + . . . + an x 3 ，即为，
10
1- 3 x a a x a x=++ +01323 . . . + a10x 3 ，令 x =1 得： a a a a01210++++ =… 0 ①;
………………………………………10 分
( )
令x=- 1 得：a0 - a1 + a2 - … + a10 = 210 = 1024 ②。……………………………………12 分 则(①+②) ÷2 得：a0 + a2 + … + a10 = 512 ，故所求值为 512………………………15 分
17. 解析：（1）记 a, β 两套导航系统能成功规避拥堵的概率分别为p1 和p2 ，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得 分
即是 a 系统能成功规避拥堵的概率为 ， β 系统能成功规避拥堵 的概率为 …………………………………………………………………………………4 分 （2）记“ a 导航系统能成功规避拥堵的概率 ”为事件E ，“ β 导航系统能成功规避拥堵的
概率 ”为事件F ，“该道路为商业区道路 ”为事件G .
则 ，P (E G ，P (E G ) ，P (F G ) = ，
………………………………………6 分
由全概率公式可得
P (E ) = P (G )P (E G ) + P(G )P (E G ) = × + × = .……………………………7 分
P (F ) = P (G )P (F G ) + P(G )P (F G ) = × + × = .…………………………8 分
因为P(F ) > P(E ) ，所以 β 导航系统能成功规避拥堵的概率更大，故该司机应该优先 选用 β 系统. ………………………………………9 分
高二数学试题参考答案第 3 页（共 6 页）
（3）由题意，商业区应用 a 系统导航，居民区应用 β 系统导航.
因为 分 由二项分布的期望公式可得
E (X …………………………………………………………………12 分 由二项分布的方差公式可得
分 因为X1 、X2 相互独立，则E(X1 + X2 ) = E (X1 ) + E(X2 ) = + = ，
分
18. 解析：（1）因为点 A(bn+1, 2bn + 3n)和点B(an + 3n , bn ) 均在直线y = x 上，所以
bn+1 = 2bn + 3n ，bn = an + 3n ， ………………………………………1 分
令n = 1 ，则 ，又b2 = 13 ，解得 a1 = 2 ， ……………………………2 分 又 an = bn - 3n ，所以
an+1 = bn+1 - 3n+1 = 2bn + 3n - 3n+1 = 2 (an + 3n)+ 3n - 3n+1 = 2an ， ………………3 分 因为a1 = 2 ，所以数列{an } 中任意一项不为0 ，又 ，故数列 {an } 是首项为
2 ，公比为2 的等比数列， ………………………………………
4 分
故an = 2 × 2n-1 = 2n ，即数列 {an } 的通项为an = 2n .…………………………………5
分
（2）在an 与an+1 之间插入n 个数，使这n + 2 个数组成一个公差为dn 的等差数列，
所以(n +1)dn = an+1 - an = 2n+1 - 2n = 2n ， ………………………………………7 分 即 ，故 ， ………………………………………8 分
2 3 4 n +1
所以Tn = 21 + 22 + 23 + … + 2n ①,
1 2 3 n n +1
2 n 2 2 2n 2n+
T = + + + +23 1… ②, ……………………………………………………9 分
①- ②可得
高二数学试题参考答案第 4 页（共 6 页）
Tn = 1+ (çè + + … + - = 1+ - = - ，…………10 分
故 …………………………………………………………………………11 分 由 得 化简得
分 当n 为奇数时，有 即 而
所以 λ > -3 ；………………………………14 分 当n 为偶数时，有 而
所以 ……………………………16 分 综上，实数 λ 的取值范围为 ………………………………………………17 分
19. 解析：（1）由题意得x > 0 ，又a = 2 ，故设 分 则 …………………………………………………………………2 分 当0 < x < 1时，有h¢(x) < 0 ， h(x) 在(0,1) 上单调递减；当x > 1 时，有h¢(x) > 0 ， h(x) 在(1, +∞ ) 上单调递增；所以函数 h(x) 在 x =1 处取得最小值 0 ，也即 f ¢(x) 在 x = 1 处 取 得 最 小 值 0 ， 故 函 数 f(x) 的 导 函 数 f ¢(x) 的 零 点 个 数 为 1 个 ……………………………………………………………4 分
（2 ） 因 为 g(x) = (x +1- a) ln x - (x -1)2 ， 所 以 f(x0 ) -g(x0 ) ≥ a +1 成 立 ， 等 价 于
x - 2x0 + a (ln x0 - x0 ) ≥ 0成立， ………………………………………………………5 分
由题意知不等式f(x0 ) -g(x0 ) ≥ a +1 在区间[1, e]上有解，即
x2 - 2x + a(ln x - x) ≥ 0 在区间[1, e]上有解， ………………………………………6 分 因为当x ∈[1, e]时， ln x ≤ 1 ≤ x （不同时取等号）， x - ln x > 0 ，
所以a ≤ 在区间[1, e] 上有解，…………………………………………………7 分
高二数学试题参考答案第 5 页（共 6 页）
令
因为x ∈[1, e]，所以 x + 2 > 2 ≥ 2 ln x ，所以h¢ (x) ≥ 0 ，h (x)在[1, e] 上单调递增，
所以x ∈[1, e]时 分 所以 所以实数a 的取值范围是 分
（3）由（1）知当a = 2 时，f ¢(x) ≥ 0 ，所以有f(x) = (x +1) ln x - 2(x -1) 在(0, +∞ ) 上 单调递增， 又 f(1) = 0 ，所以当 x > 1 时， f(x) > 0 ，令 t > 0 ，则 t +1> 1 ，则有
> 0 ，即 - 2t > 0 ，也即 分 又 an+1 = ln(an + 1) ， 且 {an } 是 正 项 数 列 ， 有 an > 0 ， 令 t = an ， 代 入 上 式 有 即 ……………………………………………14 分 所以 得出 …………………………………15 分
所以 ， 又当 n = 1 时 成立 ， 即是 n = 1 也满足 所以 得证…………………17 分 （有其它解法酌情给分）
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