比例线段、平行线分线段成比例定理.doc

比例线段、平行线分线段成比例定理
重点:比例的性质、平形线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质和判定
难点:比例的性质、平形线分线段成比例定理及推论的应用
一、知识点回顾
1、线段的比:在同一单位下,两条线段的长度之比叫做这两条线段的比。
2、比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
3、如果a:b=c:d或,那么a,b,c,d叫做组成比例的项,a、d叫做比例外项,b、c叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项。
4、如果作为比例内项的是两条相同的线段,即或a:b=b:c,那么线段b叫做线段a和c的比例中项。
5、比例的性质: (1)基本性质
(2)合比性质
(3)等比性质
6、黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC)BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点。
7、平行线分线段成比例定理
定理:三条平行线截两条直线,截得的对应线段成比例。
定理的基本图形:
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
推论的基本图形:
“日”型“A”型“X”型“A”型
二、例题:
已知,求
解法1:∵∴ ∴ ∴=4
解法2:由比例的基本性质得:2(a+3b)=7×2b 化简得:a=4b ∴=4
已知x=,求x的值。
解:(1)当a+b+c≠0时
∵x=
∴x=
(2)当a+b+c≠0时,c=-(a+b)
∴x==-1
如图,在△ABC中,AB=12cm,AE=6cm,EC=4cm,且
求AD的长;(2)求证:
解:(1)设AD=xcm,则
∴AD=x=
(2)∵
∴(合比性质)
∴
∴
已知线段AB=10cm,点c是AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC和BC的长
解:∵点c是AB的黄金分割点,且AC>BC
∴AC=
又∵AB=10cm ∴AC=5-5 cm
∴BC=AB-AC=15-5 cm
如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12,求DE和EF的长。
解:∵l1∥l2∥l3
∴(平行线分线段成比例定理)
∵AB=3,BC=5
∴AC=AB+BC=8
∵DF=12
∴
∴DE=
∴EF=DF-DE=
例6、如图,D为AB中点,E为AC上一点,DE的延长线交BC的延长线于F。
求证:
分析:原题中没有平行线,因些需作平行线,利用平行线分线段成比例定理来构成比例线段。
证明:过点C作CG∥DF,交AB于G
∵CG∥DF
∴(平行线分线段成比例定理)
∵AD=BD
∴
三、训练题:
1、已知,则=_______________.
2、已知x:y:z=3:4:5,则=______________.
3、等腰直角三角形中,一条直角边与斜边的比是__________.
4、已知M是线段AB延长线上一点,且AM:BM=5:2,则AB:BM=___________.
5、一个三角形三边的比为2:3:4,则这个三角形三边上的高的比是_____________.
6、已知菱形ABCD,∠A=60°,则=______________.