级第讲：微积分的创立.ppt

第 7讲
微积分的创立
1
微积分的创立与解析几何的发明一起,标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。
2

解析几何将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,,又形成数学发展的压力和动力,而数学知识的积累,又成为进一步发展的条件,这种需求和可能的结合,就成为新的发展的催化剂。
3
为了理解这一酝酿的背景,我们首先来略微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件:
首先是1608年,荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜,不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨,而且推动了光学的研究。
4
1619年,:
Ⅰ.行星运动的轨道是椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点;
Ⅱ.由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等;
Ⅲ.行星绕太阳公转周期的平方,与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比.
,成为当时自然科学的中心课题之一.
5
望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线,这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避;确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、,行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来.
6

时间范围——近代微积分的酝酿,主要是在17世纪上半叶这半个世纪;
需求背景——文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段,自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件:不仅引起了天文学的新高涨,而且推动了光学的研究。因而所面临的数学困难,使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点:确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急。
7
知识背景——微积分的思想萌芽,特别是积分学,部分可以追溯到古代。我们已经知道,面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题,在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。前面已经介绍过阿基米德、刘徽和祖冲之父子等人的方法,他们的工作,确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱。
8
与积分学相比而言,微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。
古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试,如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法;阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线,.
9
微积分酝酿阶段最有代表性的工作:
1、开普勒与旋转体体积;
2、卡瓦列里不可分量原理;
3、笛卡儿“圆法”;
4、费马求极大值与极小值的方法;
5、巴罗“微分三角形”;
6、沃利斯“无穷算术”。
下面选两个一起简单分析
10