第二章 控制系统的数学模型.pdf

第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型
第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型
控制系统中常见的三种数学模型形式:
1、外部描述:把系统的输出量与输入量之间的关系
用数学方式表达出来,称之为输入—输出描述,或外
部描述,例如微分方程式、传递函数和差分方程。
2、内部描述:不仅可以描述系统的输入、输出之
间的关系,而且还可以描述系统的内部特性,称之
为状态变量描述,或内部描述,适用于多输入、多
输出系统,也适用于时变系统、非线性系统和随机
控制系统。
3、方块图表示:用比较直观的方块图模型来进行描
述。
第一节拉普拉斯变换
•拉普拉斯变换(拉氏变换)是控制系统中最为常用
的一种数学方法。
•拉氏变换实现公式:
∞
Cs()==L[c(t)] c(t)e−st dt
∫0
•通过拉氏变换还可将微分方程化为以s为变量的代数
方程。对f(t)的n阶导数,其拉氏变换的一般表达式
为:
n
⎡ d ⎤ n n−1 n−2 ( n−2) ( n−1)
L f (t) = s F(s) − s f (0) − s f&(0) −− sf (0) − f (0)
n L
⎣⎢dt ⎦⎥
第一节拉普拉斯变换
d 2 x dx dx
例:求微分方程+ 5 + 4x = 0; x(0) = 0, (0) =1的解
2-1 2
dt dt dt
解:对上式进行拉氏变换可得
[]s 2 X (s) −1 + 5sX (s) + 4X (s) = 0
由此可得
1 1 1 1
X (s) = = = −
s 2 + 5s + 4 (s +1)(s + 4) 3(s +1) 3(s + 4)
再对 Xs()进行逆拉氏变换,可得
e− t e−4t
x(t) = −
3 3
第二节第二节系统输入系统输入--输出的传递函数描述输出的传递函数描述
•传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关
系的最常用方法,一般只适用于线性定常系统。
•线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,
输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。
•微分方程与传递函数转变关系:
a( n ) y + a( n−1) y + + a y + a y Y(s) b s m + bs m−1 + + b s + b
0 1 L n−1 & n 两边拉氏变换 G(s) = = 0 1 L m−1 m
= b( m ) x + b( m−1) x + + b x + b x X (s) a s n + a s n−1 + + a s + a
0 1 L m−1 & m 0 1 L n−1 n
(y是系统的输出量,x是系统的输入量,初始条件为零)
•传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位,但
是它不提供有关系统物理结构的任何信息。
第二节第二节系统输入系统输入--输出的传递函数描述输出的传递函数描述
例2-4 图2-3所示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路
R L
+ 解:此电路的电压平衡方程
式:
u C di
i L + Ri + u = u
- dt C (2-7)
dq
由于 i = ,q = Cu 式中, 为电荷量, 为电容
dt C q C
d 2u du
LC C + RC C + u = u
式可改写为: 2 C
(2-7) dt dt
初始条件为零时,取方程(2-7)的拉式变换:
2
(LCs + RCs +1)U C (s) =U(s)
U (s) 1
可到系统的传递函 G(s) C
= = 2
数: U (s) LCs + RCs +1
第二节第二节系统输入系统输入--输出的传递函数描述输出的传递函数描述
•用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数
学模型:
第一种表示方式为分子、分母的多项式形式:
mm−1
Ys() bs01+ bs ++Lbmm−1s b
Gs()==nn−1
X ()sa01s+ as++Lann−1sa
第二种表示方式也叫零极点增益模型,具体形式
为: ()s + zs(++z)(sz)
Gs()= k 01K m
()s ++ps01(p)L(s+pn )
•这两种模型各有不同的适用范围,可以相互转换,在不
同的场合需要用不同的模型
第三节典型环节函数的数学模型
1 比例环节
比例环节又称放大环节,其传递函数为:
C(s)
G(s) = = K
R(s)
2 惯性环节
惯性环节又称非周期环节,