3.2 函数的奇偶性.ppt

要点梳理
、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都
有_______________,那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都
有_______________,那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴
对称.
§ 函数的奇偶性
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
基础知识自主学****br/>
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般
步骤是:
(1)考查定义域是否关于______对称;
(2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):
若f(-x)=_______,则f(x)为奇函数;
若f(-x)=________,则f(x)为偶函数;
若f(-x)=_______且f(-x)=________,则f(x)既是
奇函数又是偶函数;
若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既
不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.
原点
-f(x)
f(x)
-f(x)
f(x)
、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填
“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶
函数;
②两个偶函数的和、积是_________;
③一个奇函数,一个偶函数的积是_________.
奇函数
偶函数
奇函数
相同
相反
基础自测
,下列函数为奇函数的是( )
=2x-3 =-3x2
=ln 5x =-|x|cos x
解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.
设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f(-x)=-xln 5=-f(x).
C
2.(2008·全国Ⅱ理)函数的图象关于
( )
=-x对称
=x对称
解析∵
∴f(x)是奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称.
C
,又在区间[-1,1]上单调递
减的函数是( )
(x)=sin x
(x)=-|x-1|
C.
D.
解析∵函数是奇函数,排除B、C(B中函数是非奇
非偶函数,C中是偶函数),
∵[-1,1]
∴f(x)=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.
D
(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,
那么a+b的值是( )
A. B. C. D.
解析依题意得
B
5.(2008·福建理)函数f(x)=x3+sin x+1 (x∈R),
若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
C.-1 D.-2
解析设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2,
∴g(a)=1,
∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
B
题型一函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)
判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否
关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等
或相反.
思维启迪
题型分类深度剖析
解(1) 定义域关于原点对称.
故原函数是奇函数.
(2) ≥0且1-x≠0-1≤x<1,
定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.