第八章：系统的状态变量分析.pdf

山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人:郭银景
第八章
系统的状态变量分析
目录
ƒ § 状态变量和状态方程
ƒ § 状态方程的建立
ƒ § 连续系统状态方程的解
ƒ § 离散系统状态方程的解
ƒ § 系统的可控制性和可观测性
§ 状态参量和状态方程
描述系统的方法可分为输入-输出法和状态变量法。
前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于只将
系统的输入变量和输出变量联系起来的输入-输出法,
它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题。
随着现代控制理论的发展,人们不仅关心系统输出量
的变化情况,而且对系统内部的一些变量也要进行研
究,以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这
就需要以内部变量为基础的状态变量分析法。
几个名词定义
状态变量: 用来描述网络中一状态随时间变化的变量
称之为状态变量。
状态方程:描述了系统状态变量的一阶导数与状态
变量和激励关系的一阶微分方程,称为状态方程。
输出方程:由状态变量和激励来表示各个输出的方程
组,它是代数方程。
动态方程:状态方程和输出方程的总称称为动态方程
或系统方程。
一、状态参量分析法
R L
+
例题: C
f ()t utc ( )
−
求所示电路的状态方程和输出方程。
解: 列微分方程(输入输出描述法):
dd2
ut()++2αωut() 22u()t=ωf()t
dt dt 00c
R 1
其中αω==
2 L 0 LC
以uCL(ti), (t)为变量列方程:
d
Ri ()t ++L i ()t u ()t =f ()t
LLdt C
1 t
utCL()= i()tdt
C ∫−∞
d 1
ut()= i()t
dt CLC
⎧ dR11
it()=− it()− u()t+ e()t
⎪ dt LLL L CL
∴⎨
d 1
⎪ ut()= i()t
⎩⎪ dt CLC
写为矩阵形式:
⎡⎤d ⎡⎤R 1
1
⎢⎥itL () −−⎡⎤
dt ⎢⎥LL⎡⎤itL ()
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥L ⎡⎤f ()t
d 1 ⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥vtC ()
vtC () 0 ⎣⎦0
⎣⎦⎢⎥dt ⎣⎦⎢⎥C
只要知道 itLc( )、u(t) 的初始状态及输入 f (t ) 即可确定电
路的全部行为。
⎡ itL ()⎤
输出方程 rt()= []0 1⎢⎥
⎣vtC ()⎦
此方法称为状态变量或状态空间分析法;

由于在连续时间系统中,状态变量是连续时间函数,因此,
对于线性的因果系统,在任意瞬时,状态变量的一阶导数是状态变
量和输入的函数,有...
yt
f1 ()t 1 ( )
y (t)
ft2 ( ) 2
... {}xi (t0 ) ...
fn (t) ytn ( )
多输入-多输出连续系统
.
x1 =ax11 1 +a12 x2 ++... a1nnx+b11 f1 +b12 f2 ++... b1 pfp
.
x 2 =ax21 1 +a22 x2 ++... a2nnx+b21 f1 +b22 f2 ++... b2 pfp
......
.
x n =axnn11+a2x2++... annxn+bn1f1+bn2f2++... bnpfp
上式可简记为 xt& ( )=+Ax(t) Bf(t) (状态方程)
..⎡⎤. .
xt()= x1 ()t x2 ()t ... xn ()t
⎣⎦⎢⎥
⎡⎤
xt()= x1 ()t x2 ()t ... xn ()t
⎣⎦⎢⎥
⎡⎤
f ()tf= 1 ()t f2 ()t ... fn ()t
⎣⎢⎦⎥
⎛⎞aa11 12 ... a13 ⎛⎞bb11 12 ... b13
⎜⎟
⎜⎟B = bb ... b
A = aa21 22 ... a23 ⎜⎟21 22 23
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟ bb31 32 ... b33
⎝⎠aa31 32 ... a33 ⎝⎠