高二数学证明线面平行.ppt

用空间向量证(解)立体几何题之
(五)
-----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题是现阶段的热门话题。它可以把一些复杂的证明或计算题用“程序化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)和证明垂直(包括线线垂直、线面垂直和面面垂直)。
用空间向量证明“平行”, 包括线面平行和面面平行。
↑
→
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G
A
E
D
C
B
F
H
M
N
:ABCD与ABEF是正方形,CB⊥平面ABEF,H、G分别是AC、BF上的点,且AH=GF. 求证: HG∥平面CBE.
MH∥AB,NG ∥AB MH∥NG
AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG
G
A
E
D
C
B
F
H
P
PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE
HG∥平面CBE
G
A
E
D
C
B
F
H
o
z
y
证明:由已知得:AB、BC、BE两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.
x
设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、
G(1- a , 1- a,0),
故,而平面CBE的法向量为(0,1,0), 故,而平面CBE 故 HG∥平面CBE
R
D
B
C
A
A1
Q
P
N
M
D1
C1
B1
-A1B1C1D1中,P、Q分别是A1B1和BC上的动点,且A1P=BQ,M是AB1的中点,N是PQ的中点. 求证: MN∥平面AC.
M是中点,N是中点 MN∥RQ
MN∥平面AC
D
B
C
A
A1
Q
P
N
M
D1
C1
B1
作PP1⊥AB于P1,作MM1 ⊥AB于M1,连结QP1, 作NN1⊥ QP1于N1,连结M1N1
N1
M1
P1
NN1∥PP1 MM1∥AA1
又NN1、MM1均等于边长的一半
故MM1N1N是平行四边形,故MN∥M1N1
MN∥平面AC
D
B
C
A
A1
Q
P
N
M
D1
C1
B1
z
y
x
o
证明:建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz
设正方形边长为2,又设A1P=BQ=2x
则P(2,2x,2)、Q(2-2x,2,0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)
所以向量(-x, x, 0),又平面AC的法向量为(0, 0, 1),∴∴
又M不在平面AC 内,所以MN∥平面AC
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
-A1B1C1D1中,求证: 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1
A1B∥D1C
平行四边形DBB1D1
B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1