蒙特卡罗方法.ppt

计算物理

蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法
蒲丰投针
收敛性、误差和优缺点
任意分布的随机数
粒子输运问题
随机过程模拟
梅氏抽样
√
蒲丰投针(1/5)
蒙特卡罗方法
又称随机抽样技巧或统计试验方法
以概率统计理论为基础的
能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程
解决一般数值方法难以解决的问题
随着电子计算机的发展而发展
首先在核武器的试验与研制中得到了应用
蒲丰投针
法国数学家蒲丰的1777年出版的著作:“在平面上画有一组间距为 d 的平行线,将一根长度为 l (l<d) 的针任意掷在这个平面上,求此针与平行线中任一条相交的概率。”
√
蒲丰投针(2/5)
步骤
在桌面上画出间距为 2d 的平行线
准备长度为 2l (l<d) 的针
向桌面随机投针
如果针与平行线相交,则计数器 n 加 1
计算:计数器 n 与总投针数 N 的比例(视作相交概率 P )
概率分析 P = ?
各条平行线地位等同,仅考虑某条平行线附近的情况
平行线方向的 x 坐标对概率没影响
针的中点的 y 坐标在线之间等概率落入(均匀分布在[0, d]),仅当 yl 才可能针-线相交
针-线的夹角 q 均匀分布在[0, p],q 与 y 独立
x
y
√
蒲丰投针(3/5)
x
y
概率 P = 2l / (p d) ,可计算圆周率
实验者
时间
针长
总投数
相交数
p 值
Wolf
1850

5,000
2,532

Smith
1855

3,204
1,218

De Morgan,C
1860

600
382

Fox
1884

1,030
489

Lezzerini
1901

3,408
1,808

Reina
1925

2,520
859

√
蒲丰投针(4/5)
关于蒙特卡罗方法的分析和总结
基本思想
确定所求问题的解是某事件的概率(或某随机变量的数学期望、或与概率/数学期望有关的量,如 p )
通过试验方法,得出事件发生的频率(或该随机变量若干个具体观察值的算术平均值,如 P ),求解
数学期望与概率:当随机变量的取值仅为 1 或 0 时,它的数学期望就是事件的概率;反之亦然
数学期望与算术平均值
用随机试验的方法计算积分,将积分看作服从分布密度函数 f (r) 的随机变量 g (r) 的数学期望
通过试验,得到 N 个观察值 r1, r2, …, rN (从 f (r) 中抽取 N 个子样 r1, r2, …, rN ),求 g (r) 的算术平均值
√
蒲丰投针(5/5)
试验方法和次数
试验方法不一定可行
精确的近似解需要巨量的试验次数,但人工方法作大量的试验相当困难,甚至是不可能的
用计算机模拟随机试验过程,完成巨量的次数
抽象
x 的分布密度函数:
q 的分布密度函数:
产生任意的(x,q ) = 由 f1(x)抽样 x + 由 f2(q)抽样 q
对应的随机变量:
数学期望与算术平均值
新的问题:误差?收敛?
√
收敛性、误差和优缺点(1/4)
收敛性
求解:以随机变量 X 的简单子样 X1, X2, …, XN 的算术平均值,作为求解的近似值
近似值的收敛性
大数定理:当试验次数足够多时,事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率
如果 X1, …, XN 独立分布,且期望值有限( E(X)<),那么
当随机变量 X 的简单子样数 N 充分大时,其算术平均值以概率 1 收敛于期望值 E(X)
√
收敛性、误差和优缺点(2/4)
误差
概率论的中心极限定理:如果随机变量序列 X1, X2, …, XN 独立分布,且具有有限非零的方差 s 2,即
其中的 f(x) 是 X 的分布密度函数,则
当 N 足够大时(蒙特卡罗方法)
不等式的概率约 1-a
误差定义为,收敛速度为
a



la



√
收敛性、误差和优缺点(3/4)
蒙特卡罗方法的误差为概率误差
均方差 s 是未知的,估计值为
减少误差的技巧(在确定的置信度 a 前提下)
误差 e 与试验次数的开根号 N1/2 成反比:精度一个数量级,次数 N 两个数量级——巨大的代价
误差 e 与均方差 s 成正比:精度一个数量级,均方差 s 一个数量级——可接受的代价
效率
降低方差增加观察子样的时间固