第四章 随机向量及其分布(1,2).ppt

一、随机向量及其联合分布函数
第一节二维随机向量
第四章随机向量及其分布
在第三章,我们讨论了随机变量及其分布,但在实际应用中往往必须同时考虑几个随机变量及它们之间的相互影响。例如,在气象中气温、气压、温度、风力等都是需要考察的气象因素,它们的数值都是随机变量。当然可以分别地去研究它们,一个一个地处理,那么第三章提供的方法就可用了。然而这些随机变量之间有着甚为密切的关系,发掘并利用它们之间的关系显然是有重要意义的课题。因此有必要把这些随机变量作为一个整体来考虑。
设n个随机变量X1,…,Xn描述同一个随机现象,一般地它们之间存在一定的联系,因而需要把它们作为一个整体来研究,我们称 n 个随机变量 X1 ,…, Xn 的整体X=(X1,…,Xn)为: 随机向量。
定义随机变量 X 为:第一个骰子出现的点数。
则: X 所有可能取值为 1,2,…,6,其分布率为:
则 Y 所有可能取值为 1,2,…,6。其分布率为:
考察先后掷二个骰子的随机试验,其样本空间为:
定义随机变量 Y 为:两个骰子中的最大点数。
现定义样本空间Ω={ω}上二维随机向量(X,Y):
X :第一个骰子出现的点数。 Y为:两个骰子中的最大点数。
同时规定:事件{X=xi,Y=yi}表示事件{X=xi}与事
件{Y=yj}的交。如(X,Y)=(2,5),表示:
定义随机变量 X 为:第一个骰子出现的点数。
定义随机变量 Y 为:两个骰子中的最大点数。
现定义样本空间Ω={ω}上二维随机向量(X,Y):
X :第一个骰子出现的点数。 Y为:两个骰子中的最大点数。
同时规定:事件{X=xi,Y=yi}表示事件{X=xi}与事件{Y=yj}的交。
如(X,Y)=(2,5),表示{X=2,Y=5},即:第一个
骰子出现的点数是 2。两个骰子中的最大点数是 5。相应的
概率为:1/36。
则二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
例 4-2 掷二个骰子,第一个骰子出现的点数记为 X,两个骰子最大点数记为 Y,求(X,Y)的联合概率分布。
解 X 所有可能取值为 1,2,…,6,
Y 所有可能取值为 1,2,…,6。
当i>j时,
当i=j时,
当i<j时,
其中i,j=1,2,…,6。即(X,Y)的联合概率分布为:
1 2 3 4 5 6
定义 4-1 设随机试验的样本空间为Ω={ω}, 对每
一个ω∈Ω,有确定的二个实值单值函数X(ω),Y(ω)与
之对应,则称(X(ω),Y(ω))为二维随机向量,简记为
(X,Y)。(2 - dimensional random vector )
在定义4-1中要注意 X 和 Y 是定义在同一个样本空间Ω
上的二个随机变量。
现在约定:对于二维随机向量(X,Y),事件{X=xi,
Y=yi}表示事件{X=xi}与事件{Y=yj} 的交,其中
{X=xi}和{Y=yi}均是样本空间Ω的子集。同样,事
件{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x}与事件{Y≤y}的交。
定义4-2 设(X,Y)是一个二维随机向量,x,y是二个
任意实数,则称二元函数
为(X,Y)的联合分布函数(joint distribution
function)。
与一维的情形一样,掌握了联合分布函数也就掌握了二
维随机向量的统计规律。
联合分布函数 F(x,y)具有下列 5个基本性质:
(1)
证明(1)~(4),类似一维随机变量分布函数的四
(2)F(x,y)对每个自变量都是单调非降的;
(3)对一切实数 x 和 y,则有
(4)F(x,y)对每个自变量都是右连续的;
(5)对一切实数x1<x2,y1<y2则有
个基本性质,下面我们只证(5)。
(5)对一切实数x1<x2,y1<y2则有
证明:由定义4-2知:
是(X,Y)落在区域 D 内的概率:
则
再由概率的非负性,即知(5)成立。
这是用 F(x,y) 来计算(X,Y) 落在矩形区域
{x1< X ≤ x2, y1< Y ≤ y2}概率的公式。
任何一个联合分布函数 F(x,y)一定具有以上五个基
本性质;反之,任何具有以上五个基本性质的二元函数
必可作为某一二维随机向量(X,Y)的联合分布函数。
由于联合分布函数 F(x,y)全面描述了随机向量(X,
Y)的统计规律,显然由(X,Y)的联合分布函数 F(x,y),
我们可以得到随机变量 X 和 Y 各自的分布函数,即
同样,
我们把
分别称为(X,Y)关于 X,Y
的边际分布函数(marginal distribution function)。
我们经常讨论的随机向量有两种类型:离散型和连续