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第五节合情推理与演绎推理
教材研读
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的① 对象具有某种性质,推出这类事物的② 对象都具有这种性质的推理
由③ 到④ 、由⑤ 到⑥
类比推理
根据两类事物之间具有某些类似(一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理
由⑦ 到⑧
部分
部分
全部
整体
个别
一般
特殊
特殊
(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演,演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(i)大前提——已知的一般原理;
(ii)小前提——所研究的特殊情况;
(iii)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
( )
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;
④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸n(n≥3)边形的内角和是(n-2)·180°.
A.①② B.①③ C.①②④ D.②④
答案 C ①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.
2.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),又y= 是指数函数(小前提),所
以函数y= 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 ( )
c
答案 A 当a>1时,y=ax为增函数;当0<a<1时,y=ax为减函数,故大前提错
误.
,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .
答案 1∶8
解析∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相似比的平方.
c
c
类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立方,∴所求体积比为1∶8.
△ABC中,不等式 + + ≥ 成立,在凸四边形ABCD中,不等式 + +
+ ≥ 成立,在凸五边形ABCDE中,不等式 + + + + ≥ 成立,
……,依此类推,在凸n边形A1A2…An中,不等式 + +…+ ≥
成立.
答案
解析∵在△ABC中, + + ≥ = ,在凸四边形ABCD中, + + +
≥ = ,在凸五边形ABCDE中, + + + + ≥ = ,……,
∴在凸n边形A1A2…An中, + +…+ ≥ .
c
类比推理
典例1 (1)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①由“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②由“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b =c+d ⇒a=c,b=d”;
③由“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;
④由“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.
其中类比结论正确的个数是 ( )
考点突破
(2)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则1×
h1+2×h2+3×h3+4×h4= .类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积
记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则H1+2H2+3H3+4H4的值为 ( )
A. B. C. D.
答案 (1)B (2)B
解析 (1)类比结论正确的只有①②.
(2)在平面凸四边形中,连接P点与各个顶点,将其分成四个小三角形,
根据三角形面积公式,可得
c
S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
= (kh1+2kh2+3kh3+4kh4)
= (h1+2h2+3h3+4h4).
所以h1+2h2+3h3+4h4= .
类似地,
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