《线性代数考研资料》第一章行列式.doc

第一章行列式
1.(95,九题,6分)设A是n阶矩阵,满足(E是n阶单位阵,是A的转置矩阵,|A|<0,求|A+E|。
【分析】由矩阵等式求抽象矩阵A+E的行列式,联想到利用此等式条件,则有两种方法:
①将直接代入要计算的行列式中。
②“凑”出可利用已知矩阵等式中左端的形式,再将代入计算。
像这种矩阵运算与行列式计算结合考查的题型,应注意.
【详解】根据有
2.(96,选(5)题,3分)四阶行列式的值等于
      (A)
(B)
      (C)
       (D)
【】
【答】应选(D)
【分析】本题是根据行列式展开定理按照第一行展开计算求解的,也可以按照拉普拉斯展开定理进行计算分析,解答本题有一定的技巧性
【详解】按第一行展开,
原式=
故正确选项为(D)
3.(99,选(4)题,3分)设A是矩阵,B是矩阵,则
   (A)当m>n时,必有行列式|. (B)当m>n时,必有行列式|.
   (C)当n>m时,必有行列式|. (D)当n>m时,必有行列式|.
【】
【答】应选(B)
【分析】四个选项在于区分行列式是否为零,而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件,而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系,所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题未知AB的具体元素,因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。
【详解】因为AB为m阶方阵,且
当m>n时,由上式可知,,即AB不是满秩的,故有行列式|AB|=0,因此正确选项为(B)
4.(04,填(5)题,4分)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B|=
【分析】可先用公式进行简化
【详解】已知等式两边同时右乘A,得
,而|A|=3,于是有
3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再两边取行列式有:
|3A-6E||B|=|A|=3,而|3A-6E|=27,故所求行列式为|B|=
5.(05,填(5)题,4分)设均为3维列向量,记矩阵
      A=(),B=()
如果|A|=1,那么|B|=
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。
【详解】对矩阵B用分块技巧,有

两边取行列式,并用行列式乘法公式,得

所以|B|=2.
6.(06,(5)题,4分)设矩阵,E为单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=
【分析】本题为计算方阵行列式,应利用矩阵运算与行列式的关系来求解
【详解】由BA=B+2E得
                                              BA-B=2E
B(A-E)=2E
|B(A-E)|=|2E|
|B||A-E|=4
|B|=4|A-E|-1
=
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