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《几何学》
《几何学》是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(或简称《方法论》)的三个附录之一,于1637年出版的。
《几何学》在《方法论》中大约占100页,共分三卷,讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书中,将逻辑、代数和几何方法结合到一起,勾画了解析几何的方法。他说,“当我们想要解决任何一个问题时”,“给作图中要用到的线段以一个名字”,“用最自然的方法表示这些线段之间的关系,直到能找出两种方式来表示同一个量,这将构成一个方程”。在第一卷中,笛卡儿对代数式的几何作了解释,而且比希腊人更进一步。对希腊人来说,一个变量相当于某线段的长度,两个变量的乘积相当于某个矩形的面积,三个变量的乘积相当于某个长方体的体积。三个变量以上的乘积,希腊人就没有办法处理了。笛卡地不这么考虑,他认为:与其把X2看作面积,不如把它看作比例式1:x=x:x2的第四项。这样,只给走一个单位的线段,我们就能用给走线段的长度来表达一个变量的任何次幂与多个变量的乘积。在这一部分中,笛卡地把几何算术化了:如果在一个给定的轴上标出x,在与该轴成固定角的另一直线上标出y,就能做出其x的值和y值满足一定关系的点(见图1)。
在第二卷中,笛卡儿根据代数方程的次数对几何曲线分了类:含x和y的一次和二次曲线是第一类;三次和四次方程对应的曲线是第二类;五次和六次方程对应的曲线是第三类,等等。
《几何学》的第三卷又回到了作图问题上,并且涉及了高于二次方程的解法。
笛卡儿还在《几何学》中确立了用前几个字母代表已知数(如a、b、c等),用末后的字母代表本知量(如x、y、Z)的****惯用法。他还引进了我们现在所使用的指数表示法(如a2、a3等)。在这本书里,还出现了待定系数法的最初使用。
尽管笛卡儿在这本书中,对解析几何的基本思想作了阐述,但这种阐述远非系统和清楚明了的。读者必须自己去从一大堆孤立的陈述中花费许多的时间来想出这些方法。原书中共有32个图形,但是我们找不出一个明确地摆出了坐标轴的图。笛卡地在写这本书的时候,有