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陕西师范大学
2011年全国大学生数学建模竞赛假期作业

248页第16题

作者:黄小苗
资金积累、国民收入与人口增长关系的数学建模问题
基本假设
为了建立资金积累、国民收入与人口增长关系的数学模型,做以下假设:
资金积累、国民收入和人口增长的变化都是连续可微的;
人口的相对增长率和总资金积累的相对增长率只与国民平均收入有关.
符号说明
国民的平均收入
人口平均资金积累
国民的平均收入与人口平均资金积累的比例常数
人口的相对增长率
总资金积累的相对增长率
总资金积累
总人口数量
时间
平衡点
和的交点
模型建立与求解
问题一的求解:
记总资金积累为,总人口数量为,又总资金积累的相对增长率为,:
(1)
(2)
又由于国民平均收入与按人口平均资金积累成正比,则令
(3)
又(4)
所以(5)
因此可以得出: (6)
由(6)式可知,当时, 才是增长的.
所以仅当总资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率是,国民平均收入才是增长的.
问题二的求解:
若资金积累的相对增长率与人口的相对增长率由国民平均收入确定,则在一般情况下, ,如下:
M
图一当时和的示意图
M
图二当时和的示意图
设是平衡点,则当时, .此时, .所以, 和的交点的横坐标就是平衡点.
现在来讨论平衡点的稳定性:
令,则.
当时, ,所以(7)
由(7)式可知, 的稳定性取决于平衡点附近和的增长速度:
若,,故该平衡点不稳定(如图一

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