自由粒子狄拉克方程的平面波解.doc

第 23 卷 第 4 期
临沂师范学院学报
2001 年 8 月
Vol . 23 No . 4 Journal of Linyi Teachers’College Aug. 2001
自由粒子狄拉克方程的平面波解
蒋学华
(临沂师范学院学报编辑部,山东临沂 276005)
摘要:先求解静止条件下自由粒子的狄拉克方程,然后采用态空间变换,得到了沿任意方向自旋和运动
的自由粒子的平面波解,提供了求解自由粒子狄拉克方程的一种简便方法.
关键词:自由粒子; 狄拉克方程; 平面波解; 态空间
中图分类号:O413. 1
文献标识码:A
文章编号:1009 - 6051 (2001) 04 - 0017 - 04
引言
0
狄拉克方程成功地把相对论与量子论统一起来,它具有四个特点. 第一,方程满足相对论所有的要
求,适用于以任意速度运动的微观粒子; 第二,方程描述自旋为 1 的粒子运动;第三,方程避免了负几率
2
密度的出现;第四,方程的解预言了反粒子(如正电子) 的存在.
自由粒子狄拉克方程为
i ∂ 5 Ψ= H^ Ψ,
(1)
5 t
0 I
I 0
I
0
0
- I
式中 H^ 为哈密顿算符,且 H^ = cα^ ·p^ + β^mc2 = cσ^ ·p^
+ mc2
, p^ 为动量算符, I 为二阶
单位矩阵,σ^ 为泡利矩阵. 求解方程(1) 的一般步骤是[ 1 - 3 ] :先求出 H^ 和 p^ 的共同本征态函数;再引入螺旋
度算符 h^ ,求得其本征态,最后将函数作归一化处理. 但这种求解方法的过程较为繁杂. 文献[ 4 ] 曾对方程(1) 的求解作过初步探讨,但只是在σz 表象中(即假定粒子的自旋及运动方向只沿 z 轴) 给予了讨论. 对于一般情况,粒子的自旋及运动方向不一定是一致的,因此只在σz 表象中求出自由粒子的平面波解, 其实际意义是有限的. 本文就较为一般的情况,在表象 h^ 中,给出求解自由粒子狄拉克方程平面波解的一种方法.
1
静止自由粒子的平面波解
σ^ 0
0 σ^
引入螺旋度算符 h^ = ∂Σ^ ·n ,这里Σ^ =
p
为自旋算符, n = = ( sinθco sφ,sinθsinφ,co sθ)
2
p
为指向任意方向 p 的单位矢量,于是易证( H^ , p^ , h^ ) 互相对易,它们构成守恒量完全集[ 1 ] .
为了避免直接求解( H^ , p^ , h^ ) 的共同本征函数的繁杂过程,先在粒子静止的坐标系中求解方程(1) ,
2
再进行态空间变换. 在粒子静止的坐标系中,由于粒子动量 p = 0 ,其哈密顿算符变为 H^ = β^m0 c ,方程
(1) 变为 i ∂ 5 Ψ= β^m c2 Ψ,四分量函数满足的方程可写成
0
5 t
收稿日期:2001202226
作者简介:蒋学华(1965 —) ,男,山东莒县人,临沂师范学院副教授,理学硕士.
ψ1
ψ1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
- 1
0
0
0
0
- 1
ψ
ψ
5
2
2
c2
(2)
i ∂
= m
.
5 t
0
ψ3
ψ4
ψ
3
ψ4
由于