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电路的暂态过程分析
背景
暂态过程是指从开始发生到逐渐趋于稳定的过程。LR电路、RC电路以及LCR电路在电子电路中有重要的应用,他们可以看作暂态过程,用常微分求解其电流变化有相当的意义。
由于交变电路中的电感和电容相对于电流有滞后和超前现象,导致电路中的电流不能简单地用 I=UR 来求解。在LR电路中,由于电感有自感作用,电压会有0→ε→0有一个跃变的过程,因而电流也是个渐变的过程。在RC电路中,从能量的角度分析电容,,由于电容自身的电压是渐变的,由E=12CU2,所以电容中的电能也是渐变的。 所以,我们可以把电路含有电容或电感元件的电路看作暂态电路,可用常微分方程求解。
关于LR电路、RC电路以及LCR电路的常微分方程分析
LR电路:
R
L
1
2
电路图如右图所示,用单刀双闸电路模拟交流电路:
由楞次定律知,电动势等于抵消的电流增量:εL=-Ldidt。其中,εL为产生的感生电动势,L为自感系数,didt为电流对时间的变化率。
当开关打到1时:ε+εL=ε-Ldidt=iR。R为电路的电阻。
∴didt+RLi-εL=0
(一阶非齐次常微分方程)
∴dii-εR=-RLdt
解得方程的通解为:i=εR+C*e-RTt
初值条件i0=0,代入得,i=εR(1-e-RTt);
当开关打到2时:εL=iR
-Ldidt=iR
通解为i=C*e-RTt
初值条件:i0=εR,故解为
i=εR*e-RTt
由上述讨论可知,该模型下,当有电源时,自感电路的电流逐渐变大,当没有电源时,自感电流逐渐变小,电流出现滞留现象,而不是简单的线性。
这一模型在实际中有着重要的应用,如利用电感制造变压器以及充电器等。
RC电路
R
C
1
2
电路图如右图所示:
当开关打到1时:
ε=qCiR=qC+R*dqdt
其中,q为电容的电量,C为电容器的电容。
通解为:
q=K*ε(1-e-tRC)
K为任意常数。
当开关打到2时:
qC+R*dqdt=0
解得:
q=K*εe-tRC
K为任意常数。
由此模型