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2006----2007学年第一学期东华大学线代试题.doc

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2006----2007学年第一学期
选择填空(5分*6=30分)
1、设,则。
2、设,为A的伴随矩阵,则=。
3、设为n维列向量,,则A有特征值 0,1 ,且(可以,不可以) 可以相似于对角阵。
4、设,,
,
则必有 C 成立。
(A); (B); (C) (D)
5、A为阶矩阵,秩,则A中( C )。
(A)至少有一个r阶子式不等于0,没有等于0的r-1阶子式;
(B)必有等于0的r-1阶子式,有不等于0 的r阶子式;
(C)有不等于0的r阶子式,所有r+1阶子式都等于0;
(D)所有r阶子式不等于0,所有r+1阶子式都等于0。
6、已知向量线性无关,向量可由线性表示,向量
不能由线性表示,则下列结论不正确的是( C )。
(A)线性相关; (B)线性无关;
(C)线性相关; (D)线性无关。
二、(10分)求的值。
解:原式=
三、(10分)设,,求X使。
解:,,
四、(10分)设,
求λ取何值时,方程组有唯一解,无解,有无穷多解?
解:
当且时,有唯一解。
当时,有无穷多解。
当时,无解。
五、(15分)与相似,
求x和y;
求可逆矩阵P,使。
解:(1)Tr(A)=Tr(B),
由为的根。所以
(2),其特征值为-1,2,-2。
当时,,,
当时,,
当时, ,
设,则。
六、(15分)求正交变换X=PY,把二次型化为标准形。
解:
当时,
当时,,
取,作变换将化为标准型
七、(10分)A为n阶正定矩阵,B为n阶半正定矩阵,
证明:(1)为正定矩阵;
(2)为正定矩阵。
证:(1)设为A的n个特征值,由A正定,故的特征值,故正定。
(2)对,所以正定。

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