2011考研英语真题.doc

第二章连续系统的时域分析
§2 .1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
二、关于0-和0+初始值
三、零输入响应与零状态响应
§2 .2 冲激响应和阶跃响应
§2 .3 卷积积分
§2 .4 卷积积分的性质
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)
= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
经典解: y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解)
齐次解: y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解
yh(t)的形式: 由微分方程的特征根确定
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;
特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。
例: 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解;
(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y’(0)=0时的全解;
(3)当f(t) = 10cos(t),t≥0;y(0)= 2,y’(0)=0时的全解。
解: 特征方程λ2 + 5λ+ 6 = 0 λ1= – 2,λ2= – 3。
∴齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
(1) f(t) = 2e – t,设特解为 yp(t) = Pe – t 代入微分方程 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
∴ yp(t) = e – t
全解 y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
由初始条件
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ,C2 = – 2
∴全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t>0
例: y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解
齐次或自由yh (t)
特解或强迫yp (t)
齐次解同上: yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
f(t)=e–2t ,而–2为特征根之一,∴特解 yp(t) = P1t e–2t
代入得 P1e-2t = e–2t
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t 代入初始条件,得
y(0) = C1+ C2=1 ,y’(0)= –2C1–3C2+1=0
得 C1 = 2 ,C2= –1 ∴ y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t > 0
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。
齐次或自由yh (t)
特解或强迫yp (t)
y”(t) + 5y’(t) +