3.1.1数系的扩充和复数的概念(教师版).doc

数系的扩充和复数的概念(两课时)
学****目标:
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,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用和数与现实世界的联系.
学****重点:引进虚数单位的必要性、对的规定以及复数的有关概念.
学****难点:复数概念的理解.
学****过程:
一、课前准备:
阅读教材的内容,了解复数概念的建立过程,并注意以下问题:
、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的?
(1)自然数:计数的需要.
(2)负数:表示相反意义的量、计数需要.
(3)分数:整数集中不能整除.
(4)无理数:开方开不尽.
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用图形表示包含关系:
自然数集,,整数集,有理数集,实数集.
3. 为什么要进行数系的扩充?
①分数的引入,解决了在自然数集中不能整除的矛盾.
②负数的引入,解决了在正有理数集中不够减的矛盾.
③无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾.
④在实数集范围内,负数不能开平方,我们要引入什么数,才能解决这个矛盾呢?
例如,在实数范围内,方程无解,那么在什么范围内才有解?
二、新课导学:
(一)新知:
,就是在实数范围内,,,它的平方会等于.
2. 根据前面讨论结果,我们引入一个新数,叫做虚数单位,并规定:
(1);
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是).
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根据虚数单位的第(2)条性质,可以与实数相乘,,从而可以把结果写成这样,数的范围又扩充了,出现了形如的数,我们把它们叫做复数;叫做实部,叫做虚部;这种形式的复数叫做复数的代数形式.
全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母表示,显然有:
.
、虚数、纯虚数:
对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当,它是实数0;当时,叫做虚数;当,时,叫做纯虚数.
5. 复数相等的充要条件:
在复数集中任取两个复数:,,
,规定:且.
:
如果两个复数都是实数,则可以比较大小,如果至少有一个是虚数,则不能比较大小;如与,与就不能比较大小.
(二)典型例题:
【例1】课本102页,自主学****有问题请教小组内的同学或老师。
变式