D12 3齐次方程.ppt

D12_3齐次方程齐次方程
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第三节
一、齐次方程
*二、可化为齐次方程
第十二章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程.
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
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例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数)
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例2. 解微分方程
解:
则有
分离变量
积分得
代回原变量得通解
即
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
(C 为任意常数)
求解过程中丢失了.
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可得OMA =  OAM = 
例3. 在制造探照灯反射镜面时,
解: 设光源在坐标原点,
则反射镜面由曲线
绕 x 轴旋转而成.
过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
由光的反射定律:
入射角= 反射角
取x 轴平行于光线反射方向,
从而 AO = OM
要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性,
试求反射镜面的形状.
而 AO
于是得微分方程:
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利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0,
积分得
故有
得
(抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
于是方程化为
(齐次方程)
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顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
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练****1
解
将方程改写为齐次方程
则有
即
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分离变量,
得
积分, 得
即
得方程通解
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练****2
解
所给方程为齐次方程,
整理得
则有
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