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§2·5 逆矩阵
在实数运算中,若a≠0,则总能找到一个数 b,使得ab=ba=1,称b为a的逆。
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定义2·14 对于n阶方阵A,若存在矩阵B,使得
则称A为可逆矩阵,简称A可逆。并
称B为A的逆矩阵。
定义2·14的说明:
(1)逆矩阵只对方阵而言,且B与A为同阶方阵
(2)A、B互为逆矩阵。
(3)若A可逆,则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵,则有AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B
,即
记为
即若
则
=BE
=B(AC)
=(BA)C
=EC
=C )
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例如
由于
=E
且
=E
所以A可逆,B为A的逆矩阵
即
同时
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【例1】设对角矩阵
,其中
证明A可逆,且
证明:因为
=E
且
=E
所以,A可逆,且
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[例(补)]设方阵A满足
证明2A+E
可逆,且
故2A+E可逆,且
且
证明:因为
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逆矩阵的运算公式:
3、若A可逆,则
可逆,且
2、若A可逆,则
1、若A可逆,则
4、若A可逆,数
则
可逆,且
5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且
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3、若A可逆,则
可逆,且
证明:
且
即
故
可逆,且
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4、若A可逆,数
则
可逆,且
证明:
且
即
故
可逆,且
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注意:若A、B不是同阶方阵,该结论不成立
5、若A、B是同阶可逆矩阵,则AB可逆。且
证明:
且
即
故AB可逆。且
因为当时,
但A-1和 B-1没意义
AB为n阶方阵,AB有可能可逆,
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判断题:
1、若A、B都是可逆矩阵,则A+B也是可逆矩阵。
2、若AB是可逆矩阵,则A、B也都是可逆矩阵。
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵,则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。
4、若A是可逆矩阵,且AX=AY,则X=Y
√
×
×
(因为A、B有可能都不是方阵)
√
证明题:设方阵A满足
证明A
可逆,且
故A可逆,且
且
因为
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