南航07-14矩阵论试卷答案.docx

南京航空航天大学
研究生考试参考答案及评分标准
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一、(20分)
解:(1),
的特征多项式为,的特征值………………………….. 6 分
(2)的行列式因子:;的不变因子:;的初等因子:;……. 7 分
(3)因为的最小多项式;
== ……………………………………….. 4 分
(4)的Jordan标准形…………………………………………………….. 3分
二、(20分)
解:(1)的维数为4,一组基,,,;………. 5 分
(2)则,;
;。对加法和数乘封闭,所以是的子空间。
的维数为3,一组基,,;……….. 5 分
二OO 七~二OO 八学年第一学期课程名称: 矩阵论
试卷类型 A 卷课程编号: A000003
参考答案及评分标准制定人: 2008 年 1 月 12 日

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(3),;
, ;
, 。
所以、、为的一组标准正交基。……..…..……. 5 分
(4)在(1)中所取基下的矩阵为;的核:; 的值域:=W. …………………………………………. 5 分
三、(20分)
解:(1),,,; ………………….………. 8 分
(2)若则至少有一个,
若则,
,
所以是上的矩阵范数。
所以是上的相容矩阵范数。……….………………………………………. 8 分
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(3),
不妨设,则=
记,则,
,
综上可知: ………………………………………………..……. 4 分
四、(20分)
(1)矩阵A的分解: ……..………. 6 分
(2)= ………………………………..……. 8 分
(3) 该方程组不相容。
极小最小二乘解……………………………………………… 6分
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五、(20分)
(1),
,时成立
即时成立。……………………………………………….…. 10 分
(2),为A 的前k 阶顺序主子式,
存在可逆矩阵,使得,
。……………………. ………….…….. 6 分
(3)设是矩阵的任一特征值,相应的特征向量为,令,
则,由,有,
从而
又因为,所以,
由的任意性,可知A的所有特征值均为正数,所以A正定。……………………..……. 4 分

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一、(20分)
解:(1)的不变因子:;的初等因子:;的最小多项式。
(2)的Jordan标准形,相应的可逆变换矩阵为。
(3),故矩阵序列发散。
二、(20分)
解:(1);;;
, 。
(2)设是相应于特征值的特征向量,,
两边取矩阵范数导出的上向量范数可得:,;
又可逆,是的特征值,由上述证明可知:;
综上所述有: 。
二OO 七~二OO 八学年第一学期课程名称: 矩阵论
试卷类型 B 卷课程编号: A000003
参考答案及评分标准制定人: 2008 年 1 月 18 日

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三、(20分)
解:(1) 可取为的一组基,则线性变换在该基下的表示矩阵为
;
(2)线性变换的特征值为5,1,3;
在(1)所取基下相应的特征向量分别为;
(3)具有3个互异特征值,可对角化,其对角化的一组基为。
四.(1)的满秩分解为:;
;
(2)易证,该方程组不相容,其极小最小二乘解为:.
五.(1)当且仅当各阶顺序主子式均为正:
,
即时成立。
(2)是Hermite矩阵,存在酉矩阵,使得,
由此可知:,
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,有。
(3)存在,构造可逆矩阵,
使得,
从而有。
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二OO 八~二OO九学年第 1 学期
课程名称:矩阵论 A卷课程编号: A000003
参考答案及评分标准制定人:《矩阵论》课程组考试日期: 2009年1月13 日
一、(20分)
(1)特征值多项式为---------------3
特征值为 0,—1(二重) ----------------3
(2)不变因子-------------6
初等因子--------------2
最小多项式---------------2
(3)Jordan标准形----------------------4
二、(20分)
(1) --------- 2’*4 = 8
(2)证明:
(i) 因为可逆,则的特征值均非零。设是的任一特征值,是相应的特征向量,则
因为是上的相容矩阵范数,则存在与相容的向量范数,从而
因为,则。---------6
(ii) 容易验证:满足相容矩阵范数的四个条件。-----------6
共