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文档列表
文档介绍
1 第一类 p 积分
当 p >1 时收敛; p≤1 时发散.
2 广义积分
当 q < 1 时收敛; q≥1
时发散.
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1.
若函数
证:
根据极限收敛准则知
存在,
定理2 . (比较审敛原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性,
因此
单调递增有上界函数,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
极限存在,
定理3. (比较审敛法 1)
例1. 判别反常积分
解:
的敛散性.
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由比较审敛法 1 可知原积分收敛.
思考题: 讨论反常积分
的敛散性.
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散.
定理4. (极限审敛法1)
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则有:
1) 当
2) 当
证:
根据极限定义,
对取定的
当 x 充
分大时, 必有
, 即
满足
当
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可取
必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
例2. 判别反常积分
的敛散性.
解:
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根据极限审敛法 1 , 该积分收敛.
例3. 判别反常积分
的敛散性.
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分发散.
定理5.
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证:
则
而
当 p >1 时收敛; p≤1 时发散.
2 广义积分
当 q < 1 时收敛; q≥1
时发散.
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1.
若函数
证:
根据极限收敛准则知
存在,
定理2 . (比较审敛原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性,
因此
单调递增有上界函数,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
极限存在,
定理3. (比较审敛法 1)
例1. 判别反常积分
解:
的敛散性.
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由比较审敛法 1 可知原积分收敛.
思考题: 讨论反常积分
的敛散性.
提示: 当 x≥1 时, 利用
可知原积分发散.
定理4. (极限审敛法1)
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则有:
1) 当
2) 当
证:
根据极限定义,
对取定的
当 x 充
分大时, 必有
, 即
满足
当
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可取
必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
例2. 判别反常积分
的敛散性.
解:
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根据极限审敛法 1 , 该积分收敛.
例3. 判别反常积分
的敛散性.
解:
根据极限审敛法 1 , 该积分发散.
定理5.
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证:
则
而
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