2010中科院《无机化学》考研试题及答案.pdf

DSP实验报告
实验题目: 实验功率谱估计

一、实验要求:
(1)理解功率谱估计的基本概念;
(2)掌握经典功率谱估计方法——直接法和间接法;
(3)掌握改进的经典功率谱估计方法,例如Welch法。
二、实验内容与原理:
功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它表示随机信号频率域的统计特性。随机信号是无始无终具有无限能量的,所以其傅立叶变换并不存在,因为它不满足绝对可积的条件。因此需要研究其在频率域上的功率分布情况,即功率谱密度或功率谱。
根据实验要求,完成该实验首先要正确的生成被估计信号。数据的长度和FFT所用的数据长度都设为1024。
:
直接法,即周期图法,是由傅立叶变换得到的:将随机信号的N点样本值看作能量有限信号,取其傅立叶变换,得到;然后再取其幅值的平方,并除以N作为的真实功率谱的估计,即
实验中,将随机信号x(n)的N点样本值看作xN(n)能量有限信号,取其傅立叶变换,得到X,然后再取其幅值的平方,并除以N作为x(n)的真实功率谱P的估计。
:
间接法,又称为自相关法或BT法,是由随机信号N个观察值,估计出自相关函数,然后再求的傅立叶变换作为功率谱的估计:

即如下计算:



实验中由随机信号N个观察值估计出自相关函数R(m),然后再求R(m)傅立叶变换作为功率谱的估计PBT。
直接法和间接法的方差性能很差,而且当数据长度太大时,谱曲线起伏加剧;若数据长度太小,则谱的分辨率又不好,所以需要改进。改进的直接谱估计方法由Bartlett法和Welch法。

Bartlett法将采样数据分成L段,每段的长度都是M,即N=LM,对每段数据加矩形窗,再计算其各自的功率谱,把对应相加,再取平均,得到平均周期图。即如下过程:
首先将观测数据分为L段,每段长M,分段后的数据可以用式(1)表示:
;; (1)
其中

平均的周期图为:

BARTLETT法是周期图算法的一种改进。由概率论的知识知道,如果是N个不相关的随机变量,每个随机变量的期望值为,方差为,那么将这N个随机变量求平均,它的期望仍为,方差变为。BARTLETT法即是受此启发,将观测数据分段,先求每段数据的周期图,再求平均的周期图,当分段较多时,估计出的功率谱较平滑,频率分辨率较差;当分段较少时,估计出的功率谱起伏较大,频率分辨率较好。

Welch法是对Bartlett法的改进:一,在对分段时,可允许每段数据有部分重叠;二,每段数据窗口可以不是矩形窗口,例如使用汉宁窗或哈明窗,记为。然后按Bartlett法求每一段的功率谱,记为=,其中。平均后的功率谱为:(段数)

加窗的优点是使得无论对于什么样的窗函数均可以谱估计为非负值;二是在分段时,各段之间有重叠,这样会使方差减小。
三、实验目的:
分别用四种不同的发放进行功率谱估计,并对比结果。
四、实验程序:
clear;
%数据的长度和FFT所用的数据长度
nfft=1024;N=1024;
%每段长度
Ns=256;
%产生含有噪声的序列xn
n=[0:N-1];
w1=2*pi*;
w2=2*pi*;
wn=randn(