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第一章行列式
第一节二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
二阶和三阶行列式是从研究二元与三元线性方程组的公式解引出来的,故先讨论解线性方程组的问题。
设含有两个未知量,的线性方程组
(1-1)
用消元法求解。
为消去未知数,以与分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得
同样消去,得

当时,则
,(1-2)
引进记号
D= (1-3)
叫做二阶行列式。它的值定义为

数称为行列式(1-3)的元素,元素的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列。
二阶行列式的值的计算,可用对角线法则来记忆。把到的实联线称为主对角线,到的虚联线称为副对角线,于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上的两元素之积所得的差。
前面方程组的解为
二、三阶行列式
设有9个数排成3行3列的数表
(1-4)
记
=
(1-5)
(1-5)式称为数表(1-4)所确定的三阶行列式。
上述定义表明三阶行列式含有6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循如下图表示的对角线法则

即实线上元素所组成之积在其前加正号,虚线上的则加负号。
计算三阶行列式
D=
解按对角线法则,有
D=(-2)´0´1+2´5´3+1´1´2-(-2)´2´5-2´1´1-1´0´3=0+30+2+20-2-0=50
求解方程
解方程左端的三阶行列式
D=
即 0
解得 x=0或x=2或x=3。
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,为研究四阶及更高阶行列式,下面我们引入n阶行列式的概念。
第二节 n阶行列式的定义
排列及其逆序数
把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(也简称排列)。
例如,312是3个元素的一个排列,652413是6个元素一个排列。
n个不同元素的所有排列的种数,通常用表示。我们知道
=n!
对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一标准次序(例如n个不同的自然数,规定由小到大为标准次序)。
在一个排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,那么它们就称为一个逆序;一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数,用字母t记之。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
求排列623541的逆序数
解在排列623541中
6排在首位,逆序数为0
2的前面比2大的数有一个6,故逆序数为1
3的前面比3大的数有一个6,故逆序数为1
5的前面比5大的数有一个6,故逆序数为1
4的前面比4大的数有二个6和5,故逆序数为2
1的前面比1大的数有五个6、2、3、5、4,故逆序数为5,于是这个排列的逆序数为
t=1+1+1+2+5=10。
将一个排列中某两个元素的位置互相对调,而其余的元素不动,就得到另一个排列,这种对排列的变换方法称为对换。将相邻两个元素对换,叫做相邻对换。
例如,排列2413经过2与3的对换就等到排列3412。
一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
证明略。
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
二、n阶行列式
为了作出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构。三阶行列式定义为
(1-6)
分析(1-6)式可以等到如下结论。
上述定义表明三阶行列式含有6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘积。因此(1-6)式右端的任一项除正负号外可以写成
显然是数1、2、3的全排列。
各项的正负号与列标的排列的奇偶性决定;列标的排列是偶排列时,该项取正号;列标的派列是奇排列时。该项取负。
那么,三阶行列式总可以写成
,
其中t为排列的逆序数,S表示对1、2、3三个数的所有排列取和。
类似,我们可定义n阶行列式

设有个数,排成n行n列的数表
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号,得到形如
(1-7)
的项,共n!项。t为这个排列的逆序数。所有形如(1-7)的n!项的和

称为n阶行列式,记作
简记数称为行列式的元素。
即
当n=1时,不要和绝对值记号相混淆。n=2、3是就是二阶、三阶行列式。
计算行列式


证有定义知
=(t为逆序数)
第二式显然。
证明上三角行列式