chap3幂级数展开2014修订版.docx

第三章幂级数展开
重点作业:授课微视频的制作。(4人一组,分值25,第9组做)。
要求:(1)15-20分钟左右;可延长。
(2)可以有片头片尾、配音和动漫等修饰,讲解准确灵活;
(3)题目:泰勒级数
2ban重点作业:授课微视频的制作。(4人一组,分值25,第10组做)。
要求:(1)15-20分钟左右;可延长。
(2)可以有片头片尾、配音和动漫等修饰,讲解准确灵活;
(3)题目:洛朗级数
重点作业:授课微视频的制作。(4人一组,分值25,第11组做)。
要求:(1)15-20分钟左右;可延长。
(2)可以有片头片尾、配音和动漫等修饰,讲解准确灵活;
(3)题目:孤立奇点的分类
本章的作业本作业,(4人一组,分值5,第12组做)。
Homework:p37
3.(1)(3)(4)
Homework:p41
(2),⑧
Homework: p47
③⑩ and (14)
第三章幂级数展开
研究解析函数的幂级数表示有理论和实际意义。
§ 复数项级数
(主要采用同学带问题看书的形式:Cauchy收敛判据,绝对收敛,一致收敛),教师讲解为辅,大概15-20分钟完成§.
1. 复数项级数的定义
设有复数项的无穷级数:
()
它的每一项都可分为实部和虚部,。其前n项的和,从而当时,。所以,复数项无穷级数()的收敛性问题就归结为两个实数项级数与的收敛性问题。于是,实数项级数的许多性质和规律常可移用于复数项级数。
收敛
收敛的定义:当时,复数项级数的部分和
有确定的极限
则称级数收敛,S称为级数和。若极限不存在,则级数发散。
收敛的充要条件(柯西收敛判据):对于任意给定的小正数,必有N存在,使得n>N时,
,
式中p为任意正整数。
收敛的必要条件:
绝对收敛
定义:若收敛,则称绝对收敛。
(绝对收敛的复数项级数必是收敛的。因为:)
性质:①绝对收敛级数的和S与项的次序无关;
②两个绝对收敛的复数项级数
,
可按类似于多项式相乘的方法来得出乘积的级数,乘积的级数也是绝对收敛的,而且和级数为那两个级数和之积pq。
q1+
q2+
q3+
q4+…
p1+
p1 q1
p1 q2
p1 q3
p1 q4
p2+
p2 q1
p2 q2
p2 q3
p2 q4
p3+…
p3 q1
p3 q2
p3 q3
p3 q4
p1 q1+(p2 q1+ p1 q2)+(p3 q1+ p2 q2+ p1 q3)+…
必要条件:
复变函数项级数
收敛和一致收敛
复变函数项级数
()
的各项是z的函数,复变函数项级数在B(或l)上收敛的充分必要条件是,在B(或l)上各点z,对于任意给定的小正数,必有N(,z)存在,使得n> N(,z)时,
,
式中p为任意正整数。如果N跟z无关,就把复变函数项级数叫做在B(或l)上一致收敛。
一致收敛级数的判别法(外尔斯特拉斯判别法):
如果对于某个区域B(或曲线l)上所有各点z,复变函数项级数()的各项的模,而正的常数项级数
收敛,则复变函数项级数在B(或l)上绝对且一致收敛。
§
最简单的解析函数项级数是幂级数,其各项均为幂函数
()
其中,,,,……都是复常数,这样的级数叫做以为中心的幂级数。
1. 幂级数敛散性的判别方法
讨论由()各项的模所组成的正项级数
()
若其收敛,则幂级数绝对收敛。
(1)比值判别法(达朗贝尔判别法,D’ Alember)
引入收敛圆半径: ()
(2)根值判别法(柯西判别法)
引入收敛半径: ()
幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛
证明:
所以幂级数在收敛圆的内部不仅绝对而且一致收敛。
(复****等比数列前项的和:)
例子见书
例:级数的收敛圆。
解:由比值判别法求
在收敛圆周上,当时,级数变为:它是发散的
当时,级数变为
收敛的
例对级数
解:
表明级数在复平面上处处收敛。
另:根值法有: