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文档介绍
§3 定积分的应用
【考试要求】
(平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等)、旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等数学三不要求
.
(数学一、数学二不要求).
一、基本概念
.
(元素法) 将某个量表达为定积分的方法:
(1)选取适当的积分变量,确定其变化区间;
(2)任取一个小区间,求出对应的微元;
(3)将表示为定积分.
(1)在直角坐标系下的计算公式
①设,,则面积元素,
(以为积分变量);
②设,,则面积元素,
(以为积分变量);
③设,,则面积元素,
(以为积分变量).
注1 型区域选为积分变量,被积函数为“上-下”;
注2 型区域选为积分变量,被积函数为“右-左”.
(2)在极坐标系下的计算公式
设,,则面积元素,
;
设,,则面积元素,.
(1)旋转体的体积
①设平面图形由,,以及轴围成,
若绕轴旋转一周,则体积元素,
(以为积分变量);
若绕轴旋转一周,则体积元素
,
,
其中(柱壳法)(以为积分变量);
②设平面图形在极坐标系下由,,以及围成,若绕极轴旋转一周,则
.
(2)平行截面面积为已知的立体的体积
设立体是由曲面及平面,围成,是用垂直于轴的平面切割立体所得的截面面积,已知连续,则体积元素,所以.
【考试要求】
(平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等)、旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等数学三不要求
.
(数学一、数学二不要求).
一、基本概念
.
(元素法) 将某个量表达为定积分的方法:
(1)选取适当的积分变量,确定其变化区间;
(2)任取一个小区间,求出对应的微元;
(3)将表示为定积分.
(1)在直角坐标系下的计算公式
①设,,则面积元素,
(以为积分变量);
②设,,则面积元素,
(以为积分变量);
③设,,则面积元素,
(以为积分变量).
注1 型区域选为积分变量,被积函数为“上-下”;
注2 型区域选为积分变量,被积函数为“右-左”.
(2)在极坐标系下的计算公式
设,,则面积元素,
;
设,,则面积元素,.
(1)旋转体的体积
①设平面图形由,,以及轴围成,
若绕轴旋转一周,则体积元素,
(以为积分变量);
若绕轴旋转一周,则体积元素
,
,
其中(柱壳法)(以为积分变量);
②设平面图形在极坐标系下由,,以及围成,若绕极轴旋转一周,则
.
(2)平行截面面积为已知的立体的体积
设立体是由曲面及平面,围成,是用垂直于轴的平面切割立体所得的截面面积,已知连续,则体积元素,所以.
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