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正项级数收敛性判别法的比较及其应用
一、引言
数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍。
二、预备知识
1、正项级数收敛的充要条件
部分和数列有界,即存在某正数M,对,有<M。
2、几种不同的判别法
比较判别法
设和是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N都有,那么
(1)若级数收敛,则级数也收敛;
(2)若级数发散,则级数也发散;
即和同时收敛或同时发散。
比较判别法的极限形式:
设和是两个正项级数。若,则
(1)当时,与同时收敛或同时发散;
(2)当且级数收敛时,也收敛;
(3)当且发散时,也发散。
比值判别法
设为正项级数,若从某一项起成立着,,有
(1)若对一切,成立不等式,则级数收敛;
(2)若对一切,成立不等式,则级数发散。
比值判别法的极限形式:
若为正项级数,则
当时,级数收敛;
当时,级数发散。
根式判别法
设是正项级数,且存在某正整数及正常数M
若对一切,成立不等式,则级数收敛;
若对一切,成立不等式,则级数收敛
根式判别法的极限形式:
设是正项级数,且,则
(1)当时,级数收敛;
(2)当时,级数发散;
(3)当时,级数的敛散性进一步判断。
柯西积分判别法
对于正项级数,设单调减少的数列,作一个连续的单调减少的正值函数,使得当x等于自然数n时,其函数恰为。那么级数与数列,这里,同为收敛或同为发散。
拉贝判别法
设是正项级数,且存在自然数及常数r,
(1)若对一切,成立不等式,则级数收敛;
(2)若对一切,成立不等式,则级数收敛
拉贝判别法的极限形式:
设是正项级数,且极限存在,则
(1)当时,级数收敛;
(2)当时,级数发散。
(3)当时,拉贝判别法无法判断。
阿贝尔判别法
如果:
级数;
级数单调有界,,则级数收敛。
狄立克莱判别法
如果:
级数的部分和有界,
级数单调趋近于零,则级数收敛。
对数判别法
设,,为正项级数,若
(1),,收敛
(2),收敛
等价判别法
设为正项级数,,收敛,则也收敛
三、判别方法的比较
1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断。如:
(1)、
取,,若令
所以级数发散
(2)、
=
=
S=
P级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。
2、当级数表达式型如,为任意函数、级数一般项如含有或等
三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P级数、调和级数进行比较、不易算出或、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时,应选用比较判别法。例:
(1) 级数收敛
(2) 级数收敛
比较判别法使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。
3、当级数含有阶n次幂,型如或或分子、分母含多个因子连乘除时,选用比值判别法。当通项含与的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断,例:
(1)
级数发散
(2)
所以级数收敛
(3)
级数收敛
4、当级数含有n次幂,型如或或通项即分母含有含的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用根式判别法。例如:
(1)
级数收敛
一般来说,当选用根式判别法无法判断时,我们也可以选用比值判别法来判断,但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法,因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。例如:
(2)
根式判别法
bc>1,级数发散
bc<1,级数收敛
bc=1,原式级数发散
比值判别法
级数收敛
级数发散
由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细。因此,上题选用根式判别法比比值判别法更好。在使用判别法时,我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用根式判别法,使用比值判别法无法判断的情况。例如:
(3)
级数收敛
不可使用比值判别法
无法判断敛散性
因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用比值判别法或根式判别法。
5、当级数表