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1997年哈尔滨工业大学量子力学试题.doc

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1997年量子力学考研试题
氢原子在时刻处于状态

式中,为氢原子的第个本征态。
计算;
计算时能量的取值几率与平均值;
写出任意时刻的波函数。
解:
(1)利用归一化条件

可知

于是,归一化后的展开系数为
; ;
(2)氢原子的能量本征值为

依题意知,能量的可能取值与相应的取值几率为

而能量的平均值为

任意时刻的波函数为

二. 证明:
若一个算符与角动量算符的两个分量对易,则其必与的另一个分量对易;
(2) 在与的共同本征态下,与的平均值为零,且当时,测量与的不确定性之积为最小。
证明:
设算符与角动量算符及皆对易,即

则

同理可知,若算符与角动量算符及皆对易,则算符必与对易;若算符与角动量算符及皆对易,则算符必与对易,于是,问题得证。
(2)在与的共同本征态下,的平均值为

由升降算符的性质可知

于是有

同理可证,算符在下的平均值也为零。在态上,

同理可得

故有

或者写为

显然,当时,上式取最小值

. (见2003年第3题)有一质量为的粒子,在如下势场中运动

试求出束缚能级所满足的方程。
解:当时,四个区域的波函数分别为

式中,
;
由处波函数连续可知,,由处波函数连续可知

再利用处波函数及其一阶导数连续的条件

求出

此即时能量本征值满足的超越方程。
当时,四个区域的波函数分别为

式中,
;
由处波函数连续条件可知,

或者

再利用处波函数及其一阶导数连续的条件

利用与的关系式,将上两式改写为

最后,得到时能量满足的超越方程

. 由两个自旋为的粒子构成的体系,若两个粒子的自旋态分别处于
;
的态上,求体系分别处单态与三

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