测度链上二阶动力方程多点边值问题对称正解存在性.docx

中南大学硕士学位论文第一章绪论
第一章 绪论
研究背景
测度链理论的研究,最早源自于 1988 年德国学者 S tefa n H ilger 的博士学位
论文〔1〕. 1990 年 St efan Hi lger 发表了测度链分析--一个连续与离散计算的统
一方法〔2 〕. ak shm ikantham 等在 1996 年出版的专著中建立了测度链上的动力方程的李雅普诺夫稳定性理论「3」.B ohn e: 和
P cterson 建立了测度链上的动力方程的基本理论,如:线性系统理论,自伴系统理论,不等式理论等,见【4] .测度链上的动力方程的研究成为目前国际上关注的一个新领域, 见「5一30 〕.
,由微分算子
丝_ hm 工业土竺二差互旦
d t h‘o h
容易得出差分算子
f (t+ h) 一f (t)
△ f
h
而有些微分方程的结果和与其对应的差分方程的结果有本质上的不同,例如,单
个种群的生态数学模型 Log ist ic 方程
巫=axfl一:。),。>0,、>O
dt 戈 k /

从 二axn o 一vxn ) ·
则有可能出现混沌解.
测度链上动力系统的研究揭示了这种差异, 同时避免了证明两次结果:一次是微分方程的证明, : 在时间测度上证明一个结果, 时间测度定义为实数 R 上的一个非空闭子集. 如果取时间测度为实数
集 R , 则结果可以产生一个和微分方程相关的结果;如果取时间测度为整数集,
则同一个结果又可以产生一个和差分方程相关的结果. 因为时间测度不仅仅只有实数集 R 和整数集,还有更多的其它的时间测度,所以时间测度上的一个结果可以产生很多个一般的结果.

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为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效工具. 除了在生物学上有应用
这种数学工具还用于电学,物理学,经济学,控制理论等领域中.
.2 基本概念
定义 实数尺上的一个非空闭子集叫时间测度(叭m e S eale). R ,z ,N , [0,l]U [2,31 ,[0,11U N Q , (0,l) 则不是时间测度.
定义 L 设 T 是时间测度,对 t o T ,定义前跳算子。:T 分 T
a (,):= inf{5 o T :s > ‘
定义后跳算子 p :T 分 T
p (t):二suP {: 。T :: < ‘
前跳距离刀: T 分 R 十定义为: 风 O = a (t) 一t ; 后跳距离 F : T 分 R 十定义为: v(O 二t一p (0 . 容易看出: 当 T = R 时, 。(t) = t , P( O = t 为恒等算子; 当 T = z 时,J (t) = t + 1 ,户(t) = t 一1 .
当,(t) > t 时,称 t 是右稀疏的;当 P( O <t 时,称 t 是左稀疏的. 如果 t < suP T 且
,(O = t ,称 t 是右稠密的;如果 t >i nf T 且 P( t)= t ,称 t 是左稠密的.
定义瓜如下:若T 有右稀疏的最小值点m ,则瓜二T 一{m },否则戈= T ·定义
T 介如下:若 T 存在左稀疏的最大值点 M ,则 T ‘二T 一{M } ,否则 T ‘= T .
记,T* = 爪门T ‘.
定义时间测度上闭区间[a,b]一{,。T :a ‘,二b},其它区间(a,b],[a,b)等可类
似定义.
定义 L 设 f :T 分 R ,t E T ‘.如果有实数 f △(t) ,使得对丫: > 0 ,存在 t 的
一个开邻域 u (即 u = (t一占,t 十句 n T , 占> 0 为某一实数) ,对所有的: 。u ,都有
{了(二(才))一f(s)一厂‘(;)[。(犷)一:一1‘:l。(才)一51
成立,则称 f △(t) 为 f 在 t 点的△一导数.
设 f :T 分 R , t 。又. 如果有实数 f v (t) ,使得对 V : > o ,存在 t 的一个开邻域 U (即 U = (t 一占,t+ 占) 自T , 占> o 为某一实数) ,对所有的: 。“,都有
}了(、(,))一了(s)一厂v(,)[、(,)一s]{‘:}:(,)一s}
成立,则称 f v (t) 为 f 在 t 点