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2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1) 极限( )
(A) 1. (B) . (C) . (D) .
(2) 设函数,由方程确定,其中为可微函数,且,则( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
(3) 设是正整数,则反常积分的收敛性( )
(A) 仅与的取值有关. (B)仅与的取值有关.
(C) 与取值都有关. (D) 与取值都无关.
(4) ( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(5) 设为矩阵,为矩阵,为阶单位矩阵,若,则( )
(A) 秩,秩. (B) 秩,秩.
(C) 秩,秩. (D) 秩,秩.
(6) 设为4阶实对称矩阵,且,若的秩为3,则相似于( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
(7) 设随机变量的分布函数,则= ( )
(A) 0. (B) . (C) . (D) .
(8) 设为标准正态分布的概率密度,为上均匀分布的概率密度,若,为概率密度,则应满足( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
二、填空题(914小题,每小题4分,.)
(9) 设求.
(10) .
(11) 已知曲线的方程为,起点是,终点是,则曲线积分.
(12) 设,则的形心的竖坐标.
(13) 设,若由生成的向量空间的维数是2,则.
(14) 设随机变量的概率分布为,,则= .
三、解答题(15~23小题,、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求微分方程的通解.
(16)(本题满分10分)
求函数的单调区间与极值.
(17)(本题满分10分)
(I)比较与的大小,说明理由;
(II)记,求极限.
(18)(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
(19)(本题满分10分)
设为椭球面上的动点,若在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹,并计算曲面积分,其中是椭球面位于曲线上方的部分.
(20)(本题满分11分)
设,已知线性方程组存在两个不同的解.
( I ) 求,;
( II ) 求方程组的通解.
(21)(本题满分11 分)
已知二次型在正交变换下的标准形为,且的第三列为.
( I ) 求矩阵;
( II ) 证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量的概率密度为
,,,
求常数及条件概率密度.
(23) (本题满分11分)
设总体的概率分布为
1
2
3
其中参数未知,以表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数().试求常数,使为的无偏估计量,并求的方差.
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数学一试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】(C).
【解析】本题属于未定式求极限,极限为型,故可以用“的抬起法”求解.
,
其中又因为
故原式极限为,所以应该选择(C).
(2)【答案】(B).
【解析】,
,
.
(3) 【答案】(D).
【解析】
,
用比较判别法的极限形式,对于,由于.
显然,当,则该反常积分收敛.
当,存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.
故不论是什么正整数,,取,不论是什么正整数,
,
所以收敛,故选(D).
(4)【答案】(D).
【解析】
.
(5)【答案】(A).
【解析】由于,,故
①
由于为矩阵,为矩阵,故
②
由①、②可得,故选A.
(6)【答案】(D).
【解析】设为的特征值,由于,所以,即,这样的特征值只能为-1或0. 由于为实对称矩阵,故可相似对角化,即,,因此,,即.
(7) 【答案】(C).
【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,,得到随机变量既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即
,故本题选(C).
(8)【答案】(A).
【解析】根据题意知,(),
利用概率密度的性质:,故
所以整理得到,故本题应选(A).
二、填空题
(9) 【答案】0.
【解析】因为,
,所以.
(10)【答案】.
【解析】令,,,利用分部积分法,
原式
.
(11) 【答案】.