也谈利率的计算公式.doc

也谈利率的计算公式.doc也谈利率的计算公式
摘要黄秀清,王立新。也谈利率的计算公式。数理统计与管理。1999,18(1),36~38
本文在起始不变原则、倍本原则和迭加原则假定下,得出资金率生长函数;指出其神同形异的两种表现形式;列出常用的单位时间利率——年利率、月利率、日利率三者之间的互换关系。
李炜同志与高俊科同志就“复利率的连续计算方法”在“数理统计与管理”上展开了讨论[1,2]。本文想就此问题谈谈个人的看法,以期引出明确而科学的认识。
Discussion on the Calculation of interest rate
Huang Xiuqien ptions ,but identical for calculation to transform the interest rates in year、month day,from each to other. Key ption of three principles,Groount of principal and its interest,Interest rate in unit of time.
§
设初始起存本金为A0元,t时间后的资金总额(本息合计)为A(A0,t)。这是一个二元连续函数。根据对储蓄存款内涵的分析研究,我们认为A(A0,t)应满足如下的三个假设条件:
首先,起始不变原则:即要求
A(A0,0)=A0 (1)
其次,倍本原则:存期相同时的资金总额与初始本金成正比,其比例系数仅是与存期t有关的函数,记为f(t)。亦即要求
A(A0,t)=(t) (2)
第三,续存迭加原则:将起始本金A0、已存期t1的资金总额做为新本金,接续存t2时间后的新资金总额,应与原始本金A0、存期(t1+t2)时间的资金总额相等。即要求对任意的t1,t2皆有
A(A(A0,t1),t2)=A(A0,t1+t2) (3)
实际上,这第三条就是复利原则。
下面,我们来推导满足这三条假设的连续函数所具有的形式。
由(1)、(2)知
f(0)=1 (4)
(2)代入(3)之左边得
A(A(A0,t1),t2)=A((t1),t2)
=(t1)。f(t2)(5)
(2)代入(3)之右边得
A(A0,t1+t2)=(t1+t2) (6)
(5)与(6)结合而得出
f(t1+t2)=f(t1)。f(t2) (7)
记
f1≡f(1) (8)
由(7)可以进一步推出
f(t)=(f1)t (9)
A(A0,t)=A0(f1)t (10)
这只须使用函数的连续性,逐步对t为整数、分数、实数推证即可。上述属于生长函数之类,分别称为资金率生长函数和资金生长函数。
§
我们回顾一下符号式的含意。A0为初始本金。A(A0,t)为存期t的资金总额。A(A0,t)-A0=A0(f(t)-1)为其存期t的利息。(A(A0,t)-A0)/A0=f(t)-1为存期t的利率。而(A(A0,1)-A0)/A0=f1-1≡r称为单位时间利率。其值为常数,随选择的单位时间不同而不同。分别可称为年利率,月利率,日利率,等等。请注意