2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案-.doc

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:
,;第9小题4分一档,第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分.
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
,则E的真子集的个数为 15 .
,则实数 5 .
,则使函数为奇函数的的个数为 3 .
△中,=2,CK=1,,则△的面积为.
:,,则 89 .
,,过作直线的垂线,,,,则-2 .
,,则的最小值为 12 .
, 26 .
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
,且不等式
对一切实数都成立.
(1)求函数的解析式;
(2)若对一切,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解(1)由题设知,. ①
令,解得,由题意可得,即,所以,即. ②
由①、②可得. ……………………4分
又恒成立,即恒成立,所以,且,即,所以,从而.
因此函数的解析式为. ……………………8分
(2)由得,
整理得.
当即时,,此不等式对一切都成立的充要条件是,此不等式组无解.
当即时,,矛盾. ……………………12分
当即时,,此不等式对一切都成立的充要条件是,解得.
综合可知,实数的取值范围是. ……………………16分
,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对一切,有.
解(1)由已知,对有,
两边同除以n,得,
即, ……………………5分
于是,,
即,
所以,.
又时也成立,故. ……………………10分
(2)当,有
,………………15分
所以时,有
又时,
故对一切,有. ……………………20分
,求使为完全平方数的整数的值.
解.
所以,当时,是完全平方数. ……………………5分
下证没有其它整数满足要求.
(1)当时,有,
又,所以,
从而.
又,所以此时不是完全平方数. ……………………10分
(2)当时,,
则,即,
所以,
即.
解此不等式,得的整数值为,但它们对应的均不是完全平方数.
综上所述,使为完全平方数的整数的值为10. ……………………20分
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