【数学建模】导弹发射追击问题的数学模型.doc

【数学建模】导弹发射追击问题的数学模型.doc数学建模竞赛
承诺书
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写): A
我们的队号为: 27
参赛队员:1. 唐路明
2. 季凯
3. 闻莺
指导教师或指导教师组负责人: 数模组
日期: 2009 年 8 月 11 日
评阅编号(由评阅老师评阅前进行编号):
数学建模竞赛
编号专用页
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分
备
注
导弹发射追击问题的数学模型
摘要
本文对导弹发射追击敌机问题进行了求解和计算机模拟,以微分方程为理论基础,根据题目要求,提出基本假设,建立合理的模型,并通过分析在给定不同速度条件下的轨迹方程,得到发射空对空和地对空两种导弹击毁敌机的条件。
问题(1),建立微分方程模型,化二阶方程为一阶方程,从而得到导弹轨迹
的解析表达式,发射该种空对空导弹击中敌机的的条件范围是(0, ),为飞机速率与导弹速率之比。,对导弹追踪敌机的过程进行了计算机检验和模拟,所得结果与所求相符。
问题(2),首先,建立三维空间直角坐标系,在任意时刻t确定了导弹和飞
机的空间位置坐标后,将导弹速度分解,再根据高度与水平距离比值不变的关系,
将问题转化为二维平面直角坐标系上的追击问题。然后与问题(1)的处理相似,
用差微分方法即可得导弹的轨迹
,最后再对两者
速度比值进行讨论后,得发射该种地对空导弹击毁敌机的的条件范围是(0,)。,以证明模型的合理性。
问题(3),在一定范围内,对m,n进行合理取值,
进行仿真模拟,确定导弹击毁飞机的最小速度。
然后,根据实际情况,假设飞机能够在一定区域范围内发现导弹,忽略其
加速的时间过程,对模型做进一步的改进。另一方面,对模型做更一般化的改进,对平面内任意两点的位置(即导弹和飞机相对位置的不固定性)进行分析讨论,得出导弹击毁飞机的轨迹方程,并对问题一的模型进行了模拟检验。
最后,对模型的优缺点进行了分析,并指出其广泛的实际应用范围,以说
明模型的现实重要意义。
关键词微分方程
一、问题的提出
某边防导弹基地的雷达发现位于其正东 N 公里处有一家来犯敌机正欲逃往正北方向 M 公里处的安全区。该基地的I型空对空追踪导弹和II型地对空追踪导弹均可针对目标随时自动调节追踪方向,截击敌机。但敌机一旦进入安全区后,由于电子干扰作用,I型、II型导弹均将失去追踪目标,无法将敌机击毁。
如此时恰有一架携有I型空对空追踪导弹的、与敌机处于同一飞行高度的巡航飞机在空中,基地即下令巡航飞机发射I型追踪导弹击毁敌机。试确定导弹追踪敌机的轨迹,并在适当的假定下给出发射该种导弹击毁敌机的条件;
如此时在基地即发射II型地对空追踪导弹去击毁敌机,试确定导弹追踪敌机的轨迹,并在适当的假定下,及发射该种导弹击毁敌机的条件;
若导弹的速度可在发射前根据需要设定,对于不同的N、M取值,编写计算机程序(语言不限),利用计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。
二、问题的分析
导弹追踪敌机,如要击毁成功,必须以足够大的速度在敌机未到达安全区时追上。本题即旨在通过建立模型,能够对导弹的跟踪轨迹方程和击毁敌机条件做出合理解答。再通过计算机,对其追踪过程进行合理的仿真模拟。
对于问题(1),建立平面直角坐标系后,导弹在x,y方向的速度有=,=,联立方程组后,将二阶微分方程化为一阶微分方程,即可求解。接着对所求解进行MATLAB编程检验,并对追踪过程进行计算机检验拟合。
对于问题(2),地对空的导弹在追击敌机的过程中,存在一个高度差的问题。因此必须建立三维空间直角坐标系来标示确定两者的位置。导弹在整个追击过程中,垂直于y轴的速度方向始终指向敌机,故始终有dz/dx=(dz/dt)/(dx/dt)=h/n等式成立,从而可将问题转化为二维平面内的追击问题。接着即是用与问题(1)中相似的微分方程的处理方法,求得y后,将其与m比较,可得结果。
对于问题(3),,运用迭代法原理,对m,n等距取值,编程求解不同情况下导弹击毁敌机的最小发射速度。