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2014年全国初中数学联赛决赛试题
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
,且满足,则的可能的值有【】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
,则的最大值为【】
A. B. C. D.
△中,,为的中点,于,交于,已知,,则= 【】
A. B. C. D.
,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】
A. B. C. D.
,,则【】
A. B. C.
△中,,,,在上,在上,使得△为等腰直角三角形, ,则的长为【】
A. B. C. D.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
,,则.
.
△内一点,,,为的中点,与交于点,如果点为△的内心,则.
:,,,则.
三、(本题满分20分)设实数满足,,求的值.
四、.(本题满分25分)如图,在平行四边形中,为对角线上一点,且满足, 的延长线与△的外接圆交于点. 证明:.
五、(本题满分25分)
设是整数,如果存在整数满足,则称具有性质.
(1)试判断1,2,3是否具有性质;
(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质的数有多少个?
2014年全国初中数学联赛决赛题参考答案
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.【答】 ,显然均不为0,所以=0或.
若,,可求得或所以或.
因此,的可能的值有3个.
2.【答】 A.
,
易知:当,时,取得最大值.
3.【答】 B.
因为,,所以四点共圆,所以,又,所以,所以.
又易知△∽△,所以,从而可得.
4.【答】 B.
若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3×4=,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种. 因此,所求概率为.
5.【答】 ,则,所以,因式分解得,所以.
由解得,显然,所以1.
6.【答】 ,易知△≌△,△∽△.
设,则,,,,故,,.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.【答】 ,所以
整理得,所以0.
2.【答】144.
由条件得,由的唯一性,得且,所以,所以.
当时,由可得,可取唯一整数值127.
故满足条件的正整数的最大值为144.
3.【答】.由题意可得,
而,所以,
从而可得.
又,所以,从而.
所以,
,
所以
4.【答】36.
设的最大公约数为,,,均为正整数且,,则,所以,从而,设(为正整数),则有,而,所以均为完全平方数,设,则,均为正整数,且,.
又,故,即.
注意到,所以或.
若,则,验算可知只有满足等式,此时,不符合题意,故舍去.
若,则,验算可知只有满足等式,此时,符合题意.
因此,所求的.
三、解由已知条件可得,.
设,,则有,, …………5分
联立解得或. ………10分
若,即,,则是一元二次方程的两根,但这个方程的判别式,没有实数根; … 15分
若,即,,则是一元二次方程的两根,这个方程的判别式,
. ………20分
四、.证明由是平行四边形及已知条件知.……5分
又A、B、F、 D四点共圆,所以,……….10分
所以△∽△, …15分
所以. ………20分
又,所以△∽△,故…………25分
五、解取,,可得,所以1具有性质;
取,,可得,所以2具有性质;……5分
若3具有性质,则存在整数使得,从而可得,故,于是有,即,这是不可能的,所以3不具有性质…………10分
(2)记,则
=
.
即①………15分
不妨设,
如果,即,则有;
如果,即,则有;
如果,即,则有;
由此可知,形如或或(为整数)的数都具有性质.…………20分
又若,则,从而,进而可知.
综合可知:当且仅当或(为整数)时,整数不具有性质.
又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质的数共有224×2=448个. …………………25分
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