五　数系扩充与复数引入.doc

第五节数系的扩充与复数的引入

(1)复数的概念:形如ɑ+bi(ɑ,b∈R)的数叫复数,其中ɑ,=0,则ɑ+bi为实数,若b≠0,则ɑ+bi为虚数,若ɑ=0且b≠0,则ɑ+bi为纯虚数.
(2)复数相等:ɑ+bi=c+di⇔ɑ=c,b=d(ɑ,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:ɑ+bi与c+di共轭⇔ɑ=c,b=-d(ɑ,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量的模r叫做复数z=ɑ+bi的模,即|z|=|ɑ+bi|=.

复数z=ɑ+biF―→一一对应复平面内的点Z(ɑ,b)F―→一一对应平面向量=(ɑ,b).

(1)运算法则:设z1=ɑ+bi,z2=c+di,ɑ,b,c,d∈R
z1±z2=(ɑ+bi)±(c+di)=(ɑ±c)+(b±d)i.
z1·z2=(ɑ+bi)(c+di)=(ɑc-bd)+(bc+ɑd)i.
==+i(c+di≠0).
(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数z=1+i的虚部为i.( )
(2)若z=ɑ+bi(ɑ,b∈R),当ɑ=0时,z是纯虚数.( )
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )


解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.
答案:B
4.(2016·课标全国Ⅰ卷)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3 B.-2
解析:先化简复数,再根据实部与虚部相等列方程求解.
(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知a-2=1+2a,解得a=-3,故选A.
答案:A
5.(2015·北京卷)复数i(1+i)的实部为________.
解析:因为i(1+i)=i+i2=-1+i,所以实部为-1.
答案:-1
一个关键
复数分类的关键是抓住z=ɑ+bi(ɑ,b∈R)的虚部:当b=0时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;当ɑ=0,且b≠0时,z为纯虚数.
一个实质
复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.
一种方法
化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.
两点注意
,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
+bi=c+di列方程时,注意ɑ,b,c,d∈R的前提条件.
一、选择题
1.(2015·湖北卷)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
B.-i D.-1
解析:因为i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共轭复数为i,故选A.
答案:A
4.(2017·郑州一检)设i是虚数单位,若复数m+(m∈R)是纯虚数,则m的值为( )
A.-3 B.-1
解析:由m+=m+3-i为纯虚数,则m+3=0,所以m=-3.
答案:A
5.(2017·广州一模)复数的虚部是( )
A.-2 B.-1
解析:==1-i,所以它的虚数为-1.
答案:B
,则下列命题中的假命题是( )
≥0,则z是实数 <0,则z是虚数
,则z2≥0 ,则z2<0
解析:设z=ɑ+bi(ɑ,b∈R),则z2=ɑ2-b2+2ɑbi,
由z2≥0,得则b=0,或ɑ,b都为0,即z为实数,故选项A为真.
同理选项B为真;选项C为假,选项D为真.
答案:C
二、填空题
=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是________.
解析:由于iz=2+4i,
所以z==4-2i,
故z对应点的坐标为(4,-2).
答案:(4,-2)
=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z2=________.
解析:∵z=1+i,∴z=1-i,
则z2+z2=(1+i)2+(1-i)